Тип 17 № 17829

Решение а).

1. По свойству углов, опирающихся на одну дугу окружности, находим $\angle CBD = \angle CAD$ и $\angle BCA = \angle BDA$.

2. Из того, что треугольники $ABC$ и $BCD$ – равнобедренные: $\angle CBD = \angle CDB$ и $\angle CAB = \angle BCA$.

3. Получаем: $\angle CBD = \angle CDB = \angle CAB = \angle BCA = \angle BDA$. Следовательно, накрест лежащие углы равны, и $BC \parallel AD$.

Решение б).

1. Пусть $\angle CBD = \angle ACB = \angle CAB = a$ (равенство углов из пункта а).

2. По теореме синусов в треугольнике $ABC$:

$$\frac{AB}{\sin \angle ACB}=\frac{12}{\sin a}=2R \Rightarrow 12=16\sin a \Rightarrow \sin a=0{,}75.$$

1. Заметим, что по сумме углов треугольника $ABC$

$$\angle CBD+\angle ACB+\angle CAB+\angle ABD=180^\circ \Rightarrow \angle ABD+3a=180^\circ \Rightarrow \angle ABD=180^\circ-3a.$$

1. По теореме синусов в треугольнике $ABD$:

$$\frac{AD}{\sin(180^\circ-3a)}=2R \Rightarrow AD=16\sin 3a \Rightarrow AD=16(3\sin a-4(\sin a)^3)=9.$$

Ответ: 9.