Тип 17 № 17830

Решение а).

1. Рассмотрим треугольники $CKD$ и $CED$. Угол $BDC$ равен углу $CED$, так как эти углы опираются на равные дуги $BC$ и $CD$. Угол $C$ общий. Следовательно, треугольники $CKD$ и $CED$ подобны по двум углам.

2. Из подобия треугольников $CKD$ и $CDE$ находим

$$\frac{CK}{CD}=\frac{CD}{CE},$$ откуда $CE \cdot CK = CD^2 = a^2$.

Решение б).

1. Треугольники $BCK$ и $EDK$ подобны, так как $\angle BKC = \angle EKD = 60^\circ$ (вертикальные) и $\angle CBK = \angle CED = 45^\circ$ (опираются на одну дугу $CD$).

2. Из подобия треугольников $BCK$ и $KED$ следует

$$\frac{CK}{KD}=\frac{BK}{KE}.$$

1. Отметим, что $\angle DCK = 180^\circ - \angle CKD - \angle CDK = 180^\circ - 120^\circ - 45^\circ = 15^\circ$.

2. Применив теорему синусов к треугольнику $DCK$, получаем

$$\frac{KD}{\sin 15^\circ}=\frac{CK}{\sin 45^\circ},$$ откуда

$$\frac{CK}{KD}=\frac{\sin 45^\circ}{\sin 15^\circ}.$$

1. Вспоминая, что $\frac{CK}{KD}=\frac{BK}{KE}$, получаем

$$\frac{BK}{KE}=\frac{\sqrt{2}}{2\sin 15^\circ}.$$

Ответ:

$$\frac{BK}{KE}=\frac{\sqrt{2}}{2\sin 15^\circ}.$$