Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй — 102, в третьей — 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй — 102, в третьей — 103, а в четвёртой — 4?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
Решение:
а) да. Можно, например, сделать такие действия:
б) Если в одной коробке окажется камней, то остальные будут пусты. Однако нетрудно видеть, что в коробках и количества камней каждый ход меняют чётность, поэтому всегда остаются разной чётности и не могут оба стать нулями.
в) Покажем, как получить в первой коробке камня:
Больше сделать нельзя. Действительно, начальные количества камней давали разные остатки от деления на , и это свойство сохраняется, поскольку от каждого количества вычитают , а потом к одному прибавляем . Значит, минимум камня не попадут в четвёртую коробку, что даёт оценку
камня.
Ответ: а) да; б) нет; в) .