Тип 14 № 18143

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с рёбрами: $$AB = 12,\qquad AA_1 = 16,\qquad AD = 15.$$

1. [] a) Доказательство отношения объёмов $1:3$.

2. Объём параллелепипеда: $$V_{\text{пар}} = AB \cdot AD \cdot AA_1 = 12 \cdot 15 \cdot 16 = 2880.$$

3. Объём пирамиды $A_1BDC_1$ найдём через объёмы «отрезаемых» пирамид: $$V_{A_1ADB} = \frac{1}{6}V_{\text{пар}} = \frac{1}{6}\cdot 2880 = 480,$$ $$V_{C_1CBD} = V_{BA_1B_1C_1} = V_{DA_1D_1C_1} = 480,$$ $$V_{A_1BDC_1} = V_{\text{пар}} - 4\cdot 480 = 2880 - 1920 = 960 = \frac{1}{3}V_{\text{пар}}.$$

4. Таким образом: $$\frac{V_{A_1BDC_1}}{V_{\text{пар}}} = \frac{1}{3}.$$

5. []б) Нахождение расстояния от $A_1$ до $BD_1$.

6. Находим необходимые длины: $$A_1B = \sqrt{AA_1^2 + AB^2} = \sqrt{256 + 144} = 20,$$ $$A_1D_1 = AD = 15,$$ $$BD_1 = \sqrt{AB^2 + AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{144 + 225 + 256} = 25.$$

7. Рассматриваем прямоугольный треугольник $A_1BD_1$: - катеты: $A_1B = 20$, $A_1D_1 = 15$; - гипотенуза: $BD_1 = 25$.

8. Искомое расстояние $A_1E$ — высота к гипотенузе: $$A_1E = \frac{A_1B \cdot A_1D_1}{BD_1} = \frac{20 \cdot 15}{25} = 12.$$

Ответ:

а) Объём пирамиды $A_1BDC_1$ составляет $\dfrac{1}{3}$ объёма параллелепипеда.

б) Расстояние от $A_1$ до $BD_1$ равно $12$.