Задание 14: Площади сечения — ЕГЭ по математике

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны рёбра $AB = 8,\qquad AD = 7,\qquad AA_1 = 5.$ Точка $W$ принадлежит ребру $DD_1$ и делит его в отношении $1:4$ , считая от вершины $D$ .

[]a) Докажите, что сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $C$ , $W$ и $A_1$ , — параллелограмм.
[]б) Найдите площадь этого сечения.

Решение:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с параметрами:

рёбра: $AB = 8$ , $AD = 7$ , $AA_1 = 5$ .

Точка $W \in DD_1$ : $DW : WD_1 = 1 : 4$ .

[]a) Доказательство, что сечение — параллелограмм.
Построим сечение плоскостью $(CA_1W)$ : Проведём $CT \parallel A_1W \; (T \in BB_1)$ . Соединим точки $A_1$ и $T$ .
Свойства сечения: $CT \parallel A_1W$ (по построению). $A_1T \parallel CW$ (как линии пересечения параллельных плоскостей). Следовательно, $CTA_1W$ — параллелограмм.
[]б) Нахождение площади сечения.
Вычислим длины отрезков: $D_1W=\frac{4}{5}DD_1=4,$ $DW=1,$ $BT=D_1W=4 \quad \text{(из равенства треугольников).}$
Найдём стороны параллелограмма: $CT=\sqrt{BC^2+BT^2}=\sqrt{7^2+4^2}=\sqrt{65},$ $CW=\sqrt{CD^2+DW^2}=\sqrt{8^2+1^2}=\sqrt{65}.$
Вычислим диагонали: $CA_1=\sqrt{7^2+8^2+5^2}=\sqrt{138},$ $WT=2\sqrt{CT^2-\left(\frac{CA_1}{2}\right)^2} =2\sqrt{65-34.5} =\sqrt{122}.$
Площадь сечения: $S=\frac{CA_1\cdot WT}{2} =\frac{\sqrt{138}\cdot\sqrt{122}}{2} =\frac{\sqrt{16836}}{2} =\sqrt{4209}.$

Ответ:

а) Доказано, что сечение $CTA_1W$ — параллелограмм.

б) Площадь сечения равна

$\sqrt{4209}.$