На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Решение:
Пусть исходные числа равны , , …, , и пусть суммы цифр, стоящих в разряде десятков и единиц, соответственно
а) Решим систему уравнений:
Примером исходного набора чисел может быть 70 двузначных чисел, заканчивающихся единицей, сумма десятков которых дает 290. Например, это 68 чисел 41 и два числа 91 или 50 чисел 51 и 20 чисел 21. Ещё пример (его можно построить, обратив внимание, что сумма десятков примерно в 4 раза больше суммы единиц): 32 раза число 92 и число 26.
б) Решим систему уравнений:
Поскольку нулей в записи чисел нет, сумма цифр, стоящих в разряде единиц, не меньше количества чисел. Тем самым, чисел не больше 30. Но тогда сумма цифр, стоящих в разряде десятков, не может быть больше 270. Противоречие.
Иначе: поскольку в записи нет нулей, а цифры в разряде десятков не превышают 9, справедливы соотношения:
то есть
Что противоречит полученной системе, в которой .
в) Требуется определить, для какого наименьшего имеет решения система уравнений
Из полученной системы следует, что величина кратна 9 и 11, то есть кратна 99. Тогда Тогда
Наименьшему значению соответствует наименьшее значение , причем из второго уравнения системы ясно, что .
Улучшим оценку: заметим, что , , откуда тогда и, таким образом, .
Если , то: заданным набором чисел, например, являются 30 чисел 91, 9 чисел 21 и число 51, сумма чисел в наборе равна
Ответ: а) например, 32 раза число 92 и число 26; б) нет; в) 693.