Задание 19: Свойства различных чисел — ЕГЭ по математике

На доске написали несколько, не обязательно различных, двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной $363$ . Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число $17$ заменили числом $71$ ).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в $4$ раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в $2$ раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Решение:

а) Допустим, что на доске были записаны числа $10a_1+b_1,\ 10a_2+b_2,\ \ldots,\ 10a_n+b_n,$ где $a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots,a_n,b_n$ — соответствующие цифры этих чисел. Пусть $A=a_1+a_2+\dots+a_n,\qquad B=b_1+b_2+\dots+b_n.$ Тогда по условию сумма записанных на доске чисел $(10a_1+b_1)+(10a_2+b_2)+\dots+(10a_n+b_n)=10A+B=363.$ А сумма после перестановки цифр будет $(10b_1+a_1)+(10b_2+a_2)+\dots+(10b_n+a_n)=10B+A=1452$ (так как $363\cdot 4=1452$ ).

Имеем два уравнения с двумя неизвестными: $\begin{cases} 10A+B=363,\\ 10B+A=1452. \end{cases}$ Сложив эти уравнения, получаем $11A+11B=1815,$ обе части делим на $11$ : $A+B=165.$

Но мы ещё можем уточнить, выразив $B=165-A$ и подставив в первое уравнение: $10A+165-A=363,$ $9A=198,$ $A=22,\qquad B=143.$

То есть сумма вторых цифр в записанных числах должна быть более чем в шесть раз больше суммы первых цифр. Числа находим методом подбора. Условию соответствует случай, когда на доске написано 20 раз число 17 и число 23. Их сумма равна $20\cdot 17+23=363.$

После перестановки цифр на доске будет написано 20 раз число 71 и число 32. Их сумма равна $20\cdot 71+32=1452,$ $1452=363\cdot 4.$

б) Так как вторая сумма должна быть в 2 раза больше, получаем два уравнения с двумя неизвестными: $\begin{cases} 10A+B=363,\\ 10B+A=726. \end{cases}$ Сложив эти уравнения, получаем $11A+11B=1089,$ обе части делим на $11$ : $A+B=99.$

Выразив $B=99-A$ и подставив в первое уравнение: $10A+99-A=363,$ $9A=264,$ $A=\frac{264}{9}=88:\!3,$ это дробное число. Противоречие, так как сумма цифр не может быть дробной.

в) Нам необходимо найти наибольшее значение суммы $S=10B+A=10(363-A)+A=3630-10A+A=3630-99A.$

Так как $b_1\le 9a_1$ , $b_2\le 9a_2$ , …, $b_n\le 9a_n$ , то $B\le 9A.$ Тогда из равенства $10A+B=363$ получаем неравенство $10A+9A\ge 363,$ или $19A\ge 363,\qquad A\ge \frac{363}{19}>19.$

То есть самое маленькое значение, которое может принимать $A$ , равно $A=20.$ А самое большое значение суммы $S=3630-99A=3630-1980=1650.$

Итак, наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел равно 1650. Учтём, что наибольшее увеличение при перемене местами цифр даёт число 19. Представляем $363=19\cdot 18+21,$ после перестановки цифр получаем $91\cdot 18+12=1650.$

Ответ: а) 20 раз число 17 и число 23; б) нет; в) 1650.