Тип 14 № 18448

Так как $B_1E : EB = C_1F : FC$ и $BB_1 = CC_1$, то $BE = CF$. Поскольку при этом $BE \parallel CF$, то $BEFC$ — параллелограмм. Отсюда получаем $EF \parallel BC \parallel AD$. Четырехугольник $EFDA$ — сечение куба плоскостью $(EFD)$.

Сечение куба плоскостью $(B_1C_1D)$ — четырехугольник $B_1C_1DA$. Прямая $AD$ — линия пересечения плоскостей $(EFD)$ и $(B_1C_1D)$.

Так как $ABCD$ — квадрат, то $AD \perp CD$. Тогда по теореме о трех перпендикулярах $C_1D \perp AD$ и $FD \perp AD$. Следовательно, $\angle C_1DF = \alpha$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями $(EFD)$ и $(B_1C_1D)$.

Обозначим $C_1F = 3x$, $FC = x$. Тогда ребро куба равно $4x$. По теореме Пифагора для $\triangle DCC_1$ имеем: $$C_1D^2 = CC_1^2 + DC^2$$ $$C_1D^2 = 16x^2 + 16x^2 = 32x^2$$ $$C_1D = 4\sqrt{2}x$$

По теореме Пифагора для $\triangle DCF$ имеем: $$FD^2 = CF^2 + DC^2$$ $$FD^2 = x^2 + 16x^2 = 17x^2$$ $$FD = \sqrt{17}x$$

Из теоремы косинусов для $\triangle C_1FD$ следует, что $$\cos \alpha = \frac{C_1D^2 + FD^2 - C_1F^2}{2 \cdot C_1D \cdot FD} = \frac{32x^2 + 17x^2 - 9x^2}{2 \cdot 4\sqrt{2}x \cdot \sqrt{17}x} = \frac{5}{\sqrt{34}}$$

Тогда $\alpha = \arccos \dfrac{5}{\sqrt{34}}$.

Ответ:

$\arccos \dfrac{5}{\sqrt{34}}$