Тип 17 № 18636

a) Пусть $O$ — центр вписанной окружности, следовательно, $BO$ и $CO$ — биссектрисы. Обозначим углы $\triangle ABC$: $\angle B = 2\beta$, $\angle C = 2\gamma$. Тогда $\angle ABP = \angle PBC = \beta$, $\angle ABP = \angle ACP$ и $\angle CBP = \angle CAP$ (опираются на одну дугу). Имеем: $\angle OCP = \gamma + \beta$.

Но также $\angle POC = \gamma + \beta$ как внешний угол. Откуда следует требуемое равенство: $\angle POC = \angle PCO$.

б) Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^\circ$, следовательно, $\angle APC = 60^\circ$. $AP = PC$, как хорды, стягивающие равные дуги. Следовательно, треугольник $APC$ равносторонний, его площадь равна

$$S = \frac{AC^2\sqrt{3}}{4}.$$

По теореме синусов $AC = 2R\sin\angle ABC = 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$. Следовательно, искомая площадь

$$S = \frac{48\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}.$$

Ответ: б) $12\sqrt{3}$.