Тип 17 № 18741

a) Поскольку $\angle AMC = \angle AKC = \angle MEK = \angle MHK = 90^\circ$,

около четырехугольников $AMKC$ и $MEHK$ можно описать окружность с диаметрами $AC$ и $MK$ соответственно.

Значит, $\angle KAC = \angle KMC = \angle KMH = \angle KЕH$,

то есть прямые $AC$ и $EH$ параллельны.

б) Пусть $O$ — точка пересечения отрезков $AK$ и $СМ$. Тогда $\angle AОМ = 90^\circ - \angle MAO = 90^\circ - \angle BAK = \angle ABC = 60^\circ$.

В треугольнике $EОH$ и $AОC$ угол $AOC$ общий, а углы $OЕH$ и $OAC$ равны. Значит, треугольники $EОH$ и $AОC$ подобны.

Поскольку $$EO = MO\cdot \cos\angle AОМ = AO\cdot \cos^2\angle AОМ = AO\cdot \cos^2 60^\circ = \frac{1}{4}AO,$$ коэффициент подобия равен $\frac{1}{4}$. Значит, $EH : AC = 1 : 4$.

Ответ: б) $1 : 4$.