Тип 17 № 18742

В острогольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$ . На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно.

a) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны.

б) Найдите отношение $EH$ и $AC$ , если $\angle ABC = 45^\circ$ .

Решение:

a) Заметим, что отрезок $AC$ виден из точек $K$ и $M$ под углом $90^\circ$ , поэтому точки $M$ , $K$ , $C$ и $A$ лежат на одной окружности, диаметром которой является отрезок $AC$ . Аналогично, точки $M$ , $K$ , $H$ , $E$ лежат на окружности, диаметром которой является $MK$ .

Пусть $\angle KAC=\alpha$ . Тогда $\angle KAC=\angle KMC=\alpha$ , так как они опираются на одну дугу $KC$ в окружности, описанной вокруг четырёхугольника $AMKC$ . Кроме того, $\angle KMC=\angle KЕN=\alpha$ , так как они опираются на одну дугу $KH$ в окружности, описанной вокруг четырёхугольника $MKHE$ . Так как $\angle EОH=\angle OAC$ , прямые $EH$ и $AC$ параллельны, поскольку это соответственные углы при пересечении $EH$ и $AC$ секущей $OA$ . Это и требовалось доказать.

б) Используем подобие треугольников. Треугольники $MKB$ и $CBA$ подобны с коэффициентом подобия $k=\cos\beta$ . Треугольники $OЕH$ и $OМK$ также подобны с тем же коэффициентом подобия. Кроме того, подобны треугольники $OMK$ и $AOC$ , поэтому подобны треугольники $OЕH$ и $OAС$ , причем коэффициент подобия равен $k=\cos^2\beta$ . Тогда

$EH=\cos^2\beta\cdot AC=AC\cos^2 45^\circ=\frac{1}{2}AC.$

Тем самым искомое отношение длин сторон равно $1:2$ .

Ответ: б) $1:2$ .