Тип 17 № 18836

а) Пусть вписанная окружность касается стороны $AB$ в точке $K$. Обозначим $BK = x$. Пусть $S$ — площадь треугольника, $p$ — полупериметр. Тогда

$$p = 5R + 1{,}5R + x = 6{,}5R + x,\qquad S = pR = R(6{,}5R + x).$$

С другой стороны, по формуле Герона

$$S = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)} = \sqrt{(6{,}5R + x)\cdot 5R \cdot 1{,}5R \cdot x} = R\sqrt{7{,}5x(6{,}5R + x)}.$$

Из уравнения $R(6{,}5R + x) = R\sqrt{7{,}5x(6{,}5R + x)}$ получаем, что $R = x$. Стороны треугольника $ABC$ равны $6{,}5R,\ 6R$ и $2{,}5R$, следовательно, этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине $B$.

б) Пусть $I$ и $O$ — центры соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$. Точка $O$ — середина гипотенузы $AC = 6{,}5R = 26$, и $OM = CO - CM = 13 - 1{,}5R = 7$.

Тогда

$$IO = \sqrt{OM^2 + MI^2} = \sqrt{7^2 + R^2} = \sqrt{65}.$$

Ответ: б) $\sqrt{65}$.