Тип 17 № 18838

a) Так как $O$ — центр вписанной в $\triangle ABC$ окружности, то $AO$ и $BO$ — биссектрисы. Введем обозначения: $\angle BAO = \alpha$, $\angle ABO = \beta$. Следовательно, по теореме о внешнем угле имеем: $\angle AOP = \alpha + \beta$. Углы $\beta = \angle CBP = \angle CAP$ как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, $\angle PAO = \alpha + \beta = \angle AOP$. Что и требовалось доказать.

б) Пусть $R$ — радиус описанной около $\triangle ABC$ окружности. Тогда по теореме синусов для $\triangle ABP$: $$\frac{AP}{\sin \angle ABP} = 2R \quad\Rightarrow\quad AP = 2R\sin 30^\circ = 6.$$ Следовательно, $OP = AP = 6$. Далее имеем: $$\angle APO = 180^\circ - 2\left(\frac{75^\circ}{2} + 30^\circ\right) = 45^\circ.$$ Следовательно, искомая площадь равна: $$S_{APO} = \frac{1}{2}\cdot AP \cdot OP \cdot \sin 45^\circ = 9\sqrt{2}.$$ Ответ: $9\sqrt{2}$.