Тип 17 № 20078

a) Доказательство:

1. Опишем окружность около прямоугольного $\triangle ABC$. Её диаметром является гипотенуза $AB$. Центр $O$ описанной окружности — середина диаметра.
2. По условию, $AH=BP$. Так как $O$ — середина $AB$, точки $H$ и $P$ симметричны относительно $O$.
3. Высота $CH \perp AB$ и перпендикуляр $QT \perp AB$. Из симметрии $H$ и $P$ относительно $O$, ординаты симметричных точек окружности $C$ и $Q$ равны: $$y_C=y_Q \Rightarrow CQ \parallel AB$$
4. Так как $CQ \parallel AB$, то четырехугольник $ACQB$ — трапеция. Вписанная трапеция всегда является равнобокой. Ч.Т.Д.

б) Решение:

1. Так как $CQ \parallel AB$ и $QT \perp AB$, то по теореме Пифагора для диаметра и хорды выполняется: $$CQ^2+QT^2=AB^2$$
2. Выразим хорду $QT$ при известном $CQ=5$: $$QT^2=AB^2-25$$ $$QT=\sqrt{AB^2-25}$$

Ответ: $$QT=\sqrt{AB^2-25}.$$