Тип 19 № 20092

Решение.

a) Предположим, что количество синих карт равно 1. Тогда самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, то есть $3\cdot 1=3$.

Но по условию все числа на красных картах делятся на 8. Число 3 не делится на 8. Противоречие. Значит, количество синих карт не может быть равным 1.

b) Пусть синих карт 40, а красных карт $r$.

Самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, то есть $3\cdot 40=120$. Заметим, что $120:8=15$, то есть 120 делится на 8, что соответствует условию для красных карт.

Самое большое число на синей карте равно количеству красных карт, то есть $r$. По условию оно должно делиться на 5, значит, $r$ кратно 5.

Числа на картах одного цвета различны и не меньше $-30$.

Синие карты. Имеется 40 синих карт с различными числами, кратными 5, не меньшими $-30$, и с наибольшим числом $r$. Чтобы такой набор существовал, количество различных чисел, кратных 5, в промежутке от $-30$ до $r$ должно быть не меньше 40: $$\frac{r-(-30)}{5}+1\ge 40$$ $$\frac{r+30}{5}+1\ge 40$$ $$\frac{r+30}{5}\ge 39$$ $$r+30\ge 195$$ $$r\ge 165.$$

Красные карты. Имеется $r$ красных карт с различными числами, кратными 8, не меньшими $-30$, и с наибольшим числом 120. Наименьшее кратное 8 число, не меньшее $-30$, — это $-24$. Количество различных чисел, кратных 8, в промежутке от $-24$ до 120: $$\frac{120-(-24)}{8}+1=\frac{144}{8}+1=18+1=19.$$ Значит, красных карт не может быть больше 19. Но из условия для синих карт мы получили $r\ge 165$. Противоречие. Следовательно, 40 синих карт быть не может.

в) Пусть $s$ — количество синих карт, $r$ — количество красных карт.

Самое большое число на красной карте равно $3s$, и оно должно делиться на 8. Самое большое число на синей карте равно $r$, и оно должно делиться на 5.

Числа на красных картах кратны 8, различны, не меньше $-30$, наибольшее равно $3s$. Количество различных чисел, кратных 8, в промежутке от $-30$ до $3s$ не может быть меньше $r$. Наименьшее кратное 8 число, не меньшее $-30$, — это $-24$. Всего таких чисел: $$\frac{3s-(-24)}{8}+1=\frac{3s+24}{8}+1=\frac{3s+32}{8}.$$ Так как всего красных карт $r$, то $$r\le \frac{3s+32}{8}.$$

Числа на синих картах кратны 5, различны, не меньше $-30$, наибольшее равно $r$. Количество различных чисел, кратных 5, в промежутке от $-30$ до $r$ не может быть меньше $s$. Всего таких чисел: $$\frac{r-(-30)}{5}+1=\frac{r+30}{5}+1=\frac{r+35}{5}.$$ Так как всего синих карт $s$, то $$s\le \frac{r+35}{5}.$$ $$r\ge 5s-35.$$

Из двух ограничений получаем: $$5s-35\le r\le \frac{3s+32}{8}$$ $$5s-35\le \frac{3s+32}{8}$$ $$40s-280\le 3s+32$$ $$37s\le 312$$ $$s\le \frac{312}{37}=8\frac{16}{37}.$$ Так как $s$ — целое, получаем $s\le 8$.

Пусть $s=8$. Тогда наибольшее число на красной карте равно $3\cdot 8=24$. Заметим, что $24:8=3$, то есть 24 делится на 8, что соответствует условию.

Из неравенства $$5s-35\le r\le \frac{3s+32}{8}$$ при $s=8$ получаем: $$5\cdot 8-35\le r\le \frac{3\cdot 8+32}{8}$$ $$5\le r\le 7.$$

Кроме того, $r$ должно быть кратно 5. В промежутке от 5 до 7 единственное кратное 5 число — это 5. Значит, $r=5$.

Составим набор карт:

• Синие карты (8 штук). Числа кратны 5, различны, не меньше $-30$, наибольшее равно 5. Это в точности набор $-30,-25,-20,-15,-10,-5,0,5$.
• Красные карты (5 штук). Числа кратны 8, различны, не меньше $-30$, наибольшее равно 24. Это в точности набор $24,16,8,0,-8$.

Таким образом, $s=8$ возможно. Следовательно, наибольшее количество синих карт равно 8.

Ответ: а) Нет б) Нет в) 8.