Тип 17 № 20097

a) Четырехугольник $MCEH$ — вписанный, так как $\angle C+\angle H=90^\circ+90^\circ=180^\circ$. Следовательно, $\angle MHC=\angle MEC$.

С другой стороны, $\angle MEC=\angle MKE$, так как угол между хордой и касательной и вписанный угол. Получаем, что $$\angle MHC=\angle MKC,$$ а значит, $CH\parallel EK$.

б) По теореме Пифагора гипотенуза $AB=17$.

Продлим $MK$ и $BC$ до пересечения в точке $P$. Заметим, что $MC=CE=r$, где $r$ — радиус вписанной окружности. Тогда $$r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{6}{2}=3.$$

Тогда $EB=KB=5$, $MA=AK=12$.

Рассмотрим теорему Менелая для $\triangle ABC$ и прямой $MK$:

$$\frac{AK}{KB}\cdot\frac{BP}{PC}\cdot\frac{CM}{MA}=1$$ $$\frac{12}{5}\cdot\frac{BP}{PC}\cdot\frac{3}{12}=1$$ $$\frac{BP}{PC}=\frac{5}{3}.$$

Тогда если $PC=3x$, то $BC=2x=8$, откуда $x=4$ и $PC=3\cdot 4=12$.

Треугольники $\triangle PCH$ и $\triangle PEK$ подобны по двум углам ($\angle P$ — общий, $\angle PCH=\angle PEK$ из параллельности, доказанной в пункте a)). Тогда $$\frac{CH}{EK}=\frac{PC}{PE}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}.$$

Ответ: $\frac{4}{5}.$