Тип 3 № 20574

Решение:

а)

Пусть $CH$ — высота треугольника $ABC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $CH$ является медианой, поэтому $AH=HB=\tfrac12 AB$.

По условию $AP:PB=3:1$ и $HB=\tfrac12 AB$, следовательно $HP:PB=1:1$.

В треугольнике $CHB$ заметим следующее: $HP=PB$. $BM=MC$.

Следовательно, $MP$ — средняя линия треугольника $CHB$, и $MP\parallel CH$.

Поскольку $CH\perp AB$, то $MP$ перпендикулярна $AB$, откуда $MP\perp AB$.

Проекция $PM$ отрезка $QP$ на плоскость $ABC$: точки $M$ и $Q$ являются серединами $BC$ и $B_1C_1$ соответственно, поэтому $MQ\parallel BB_1$. Так как $BB_1\perp (ABC)$, получается $MQ\perp (ABC)$. По признаку перпендикулярности плоскостей, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна плоскости. Поэтому $QP$ перпендикулярен $AB$. Отсюда $AB\perp$ двум пересекающимся прямым в плоскости $QPM$, значит $AB\perp$ плоскости $QPM$, а потому $AB\parallel\alpha$.

Итак, пункт a) доказан: $$AB\parallel\alpha.$$

Пункт b).

Обозначим через $H_1$ проекцию точки $P$ на плоскость $\alpha$, то есть $MH_1\perp PQ$. Нас интересует отношение $PH_1:H_1Q$, так как $\alpha\perp PQ$.

Сначала найдём необходимые длины в основании и в вертикальном направлении.

По условию $AA_1=5$. Так как $Q$ — середина $B_1C_1$, то $QM=5PB$ по расположению ребер призмы, а также $QM=\tfrac14 AB = 3BM$. Более удобно выразить через $PB$.

Найдём $PB$. Из прямоугольного треугольника, опираясь на данные $AB=12$ и $\cos\angle ABC=\tfrac{3}{5}$, получаем для стороны $BC$: $$\cos\angle ABC=\frac{AB}{2\cdot BC}\quad\text{(в равнобедренном треугольнике при основании AB)}.$$ Но удобнее воспользоваться проекцией: пусть $CH$ — высота, тогда $$\cos\angle ABC=\frac{BH}{BC}=\frac{AB/2}{BC}=\frac{6}{BC}=\frac{3}{5}.$$ Отсюда $$BC=\frac{6\cdot 5}{3}=10.$$

Так как $AP:PB=3:1$ и $AB=12$, получаем $$PB=\frac{1}{4}AB=3.$$

Далее $AA_1=5$ дано напрямую.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BPM$ (здесь $PM$ — проекция $PQ$ на плоскость основания). По теореме Пифагора: $$MB^2 = PM^2 + PB^2.$$ Из геометрии основания $MB=\tfrac12 BC=5$, поэтому $$5^2 = PM^2 + 3^2 \quad\Rightarrow\quad PM^2 = 25-9=16,$$ откуда $$PM=4.$$

Пусть $MH_1$ перпендикулярна $PQ$. Тогда отношение $PH_1:H_1Q$ равно квадрату тангенса или косинуса угла в соответствующем прямоугольном треугольнике. В прямоугольном треугольнике со сторонами $PM$ и $QM$ имеем $$\frac{PM^2}{QM^2}=\frac{4^2}{5^2}=\frac{16}{25}.$$

Следовательно, искомое отношение равно $$\frac{PH_1}{H_1Q}=\frac{PM^2}{QM^2}=\frac{16}{25}.$$

Ответ: $$\boxed{\frac{16}{25}}$$