Тип 16 № 20576

Решение

Кредит в размере $S$ тыс. руб. погашается в течение 10 лет:

• Первые 5 лет: процентная ставка $18\%$

• Последние 5 лет: процентная ставка $16\%$

• Ежегодное уменьшение долга: $\frac{S}{10}$ тыс. руб.

Общая сумма выплат складывается из погашения основного долга $S$ и процентов, начисленных за каждый год.

Проценты за первые 5 лет начисляются на остатки долга: $$S,\ \frac{9}{10}S,\ \frac{8}{10}S,\ \frac{7}{10}S,\ \frac{6}{10}S.$$ Сумма этих остатков: $$S + \frac{9}{10}S + \frac{8}{10}S + \frac{7}{10}S + \frac{6}{10}S = 4S.$$ Проценты за первые 5 лет: $$0{,}18 \cdot 4S = 0{,}72S.$$

Проценты за последние 5 лет начисляются на остатки: $$\frac{5}{10}S,\ \frac{4}{10}S,\ \frac{3}{10}S,\ \frac{2}{10}S,\ \frac{1}{10}S.$$ Сумма этих остатков: $$\frac{5}{10}S + \frac{4}{10}S + \frac{3}{10}S + \frac{2}{10}S + \frac{1}{10}S = 1{,}5S.$$ Проценты за последние 5 лет: $$0{,}16 \cdot 1{,}5S = 0{,}24S.$$

Общая сумма выплат: $$S_{\text{общ}} = S + 0{,}72S + 0{,}24S = 1{,}96S.$$

По условию $S_{\text{общ}} = 1470$ тыс. руб., следовательно: $$1{,}96S = 1470 \quad\Rightarrow\quad S = \frac{1470}{1{,}96} = 750 \text{ тыс. руб.}$$

Ответ: $750\,000$ рублей.