Тип 3 № 20581

Решение:

а)

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ основания. Поскольку $ABCD$ — ромб, его диагонали взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Из условия $AC = 10$ следует, что $AO = OC = 5$. Тогда в прямоугольном треугольнике $AOB$: $$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3},$$ следовательно, $BD = 2BO = 10\sqrt{3}$.

Треугольник $ASC$ равнобедренный ($SA = SC$), и $O$ — середина $AC$, значит, $SO$ — его высота. По теореме Пифагора: $$SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{(10\sqrt{2})^2 - 5^2} = \sqrt{200 - 25} = \sqrt{175} = 5\sqrt{7}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $SOB$. Известны все его стороны: $SO = 5\sqrt{7}$, $BO = 5\sqrt{3}$, $SB = 20$. По теореме косинусов найдём $\cos \angle SOB$: $$\cos \angle SOB = \frac{SO^2 + BO^2 - SB^2}{2 \cdot SO \cdot BO} = \frac{175 + 75 - 400}{2 \cdot 5\sqrt{7} \cdot 5\sqrt{3}} = \frac{-150}{50\sqrt{21}} = -\frac{3}{\sqrt{21}}.$$ Так как углы $SOB$ и $SOD$ смежные, то $\cos \angle SOD = \frac{3}{\sqrt{21}}$.

Теперь применим теорему косинусов в треугольнике $SOD$: $$SD^2 = SO^2 + OD^2 - 2 \cdot SO \cdot OD \cdot \cos \angle SOD.$$ Здесь $OD = BO = 5\sqrt{3}$, поэтому $$SD^2 = 175 + 75 - 2 \cdot 5\sqrt{7} \cdot 5\sqrt{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{21}} = 250 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3 = 250 - 150 = 100,$$ откуда $SD = 10$.

Заметим, что $SD^2 + BD^2 = 100 + 300 = 400 = SB^2$, значит, $\angle SDB = 90^\circ$. Аналогично $SD^2 + AD^2 = 100 + 100 = 200 = SA^2$, значит, $\angle SDA = 90^\circ$. Таким образом, прямая $SD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $DB$ и $DA$ плоскости основания, следовательно, $SD \perp (ABCD)$.

б)

Поскольку $AC \perp BD$ (диагонали ромба) и $AC \perp SD$ (из пункта а), то $AC$ перпендикулярна плоскости $SBD$. Тогда расстояние между прямыми $AC$ и $SB$ есть расстояние от точки $O$ до прямой $SB$. Опустим из точки $O$ в точку $E$ перпендикуляр к прямой $SB$.

Треугольники $BOE$ и $BSD$ подобны (оба прямоугольные, имеют общий угол при вершине $B$). Следовательно, $$\frac{OE}{SD} = \frac{BO}{BS} \quad\Longrightarrow\quad OE = \frac{SD \cdot BO}{BS} = \frac{10 \cdot 5\sqrt{3}}{20} = \frac{5\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ: б) $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$.