Тип 16 № 20583

Решение

Пусть $S$ тысяч рублей --- сумма кредита. В первые 5 лет долг должен ежегодно уменьшаться на одну и ту же сумму. Так как к 2030 году он должен составлять 800 тыс. рублей, то в первые 5 лет сумма ежегодного уменьшения долга равна $\frac{S - 800}{5}$. Обозначим эту величину через $x$. В последние 5 лет долг должен уменьшаться с 800 тыс. руб. до 0, значит ежегодное уменьшение долга составит $\frac{800}{5} = 160$ тыс. руб. Каждая выплата состоит из суммы, на которую уменьшается долг, и суммы начисленных процентов. Составим таблицу.

Общая сумма выплат состоит из суммы кредита $S$ и суммы начисленных за все годы процентов. По условию она равна $2090$ тыс. рублей. Сумма процентов равна $0{,}1$ от суммы всех долгов на начало каждого года (до гашения).

Запишем сумму долгов за все 10 лет: $$S + (800+4x) + (800+3x) + (800+2x) + (800+x) + 800 + 640 + 480 + 320 + 160.$$

Подставим $x = \frac{S - 800}{5}$: $$S + 4\cdot 800 + 10\cdot \frac{S-800}{5} + 800 + 640 + 480 + 320 + 160 = S + 3200 + 2\cdot(S-800) + 2400 = S + 3200 + 2S - 1600 + 2400 = 3S + 4000.$$

Следовательно, сумма всех начисленных процентов равна: $$0{,}1 \cdot (3S + 4000) = 0{,}3S + 400.$$

Общая сумма выплат: $$S + 0{,}3S + 400 = 1{,}3S + 400.$$

По условию общая сумма выплат равна 2090 тыс. руб.: $$1{,}3S + 400 = 2090 \quad\Rightarrow\quad 1{,}3S = 1690 \quad\Rightarrow\quad S = \frac{1690}{1{,}3} = 1300.$$

Ответ: 1 300 000 рублей.