Даны числа A и B. Из них можно сделать числа A + 2 и B − 1 или B + 2 и A − 1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что A = 7, B = 11.
а) Можно ли за 20 ходов создать пару, где одно из чисел равно 50?
б) За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна 600?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали 50?
Решение:
Решение:
Поскольку , с каждым ходом сумма чисел будет возрастать на .
а) После ходов сумма станет
значит, второе число пары не будет натуральным. Это запрещено.
б) Понадобится
хода. Такая ситуация возможна, если каждый раз на роль уменьшаемого выбирать большее из двух чисел — если оно равно , то оба числа должны быть единицами, что невозможно, поскольку сумма чисел постоянно растёт и в самом начале равна
в) Заметим, что разность между числами всегда меняется на :
Изначально эта разность равна
и не кратна трём, поэтому она никогда не станет равна нулю. Значит, сделать числа и не получится.
Поэтому сумма двух этих чисел будет не больше
и будет сделано не более
хода. Сделать столько ходов можно, например, так:
Затем раз повторить пару ходов
увеличивающую оба числа на , если наибольшее не превосходило .
Ответ: а) нет; б) ; в) .