Тип 1 № 20590

Решение:

а)

Пусть $O$ — центр большей окружности, а $Q$ — центр меньшей.
Поскольку окружности касаются внутренним образом в точке $K$, точки $O$, $Q$ и $K$ лежат на одной прямой (линии центров).
Меньшая окружность проходит через центр большей, значит, $OK$ является её диаметром. Следовательно, радиус меньшей окружности равен $\frac{OK}{2}$.

Рассмотрим точку $A$ — пересечение хорды $KM$ с меньшей окружностью.
Так как $A$ лежит на окружности с диаметром $OK$, угол $\angle OAK = 90^\circ$ (вписанный угол, опирающийся на диаметр).
Значит, $OA \perp KM$. Но $OA$ — радиус большей окружности, а перпендикуляр из центра окружности к хорде делит её пополам. Следовательно, $A$ — середина отрезка $KM$.

Аналогично, рассматривая точку $B$ на хорде $KN$, получаем, что $B$ — середина $KN$ ($\angle OBK = 90^\circ$, значит $OB \perp KN$, и $B$ — середина).

Таким образом, в треугольнике $KMN$ отрезок $AB$ соединяет середины двух сторон, значит, $AB$ — средняя линия. Следовательно, $$AB \parallel MN.$$

Теперь используем параллельность $AB \parallel MN$. Рассмотрим две секущие $KC$ и $KL$, пересекающие параллельные прямые $AB$ и $MN$. По теореме о пропорциональных отрезках: $$\frac{CN}{LB} = \frac{CK}{LK} = \frac{CM}{AL}.$$ Отсюда, переставляя пропорцию, получаем: $$\frac{CN}{CM} = \frac{LB}{LA}.$$ Что и требовалось доказать.

б)

Радиус меньшей окружности равен $\sqrt{17}$, значит $$QK = \sqrt{17}.$$ Так как меньшая окружность проходит через центр большей, то $OK = 2\sqrt{17}$ — это радиус большей окружности.
Следовательно, расстояние между центрами: $$OQ = OK - QK = 2\sqrt{17} - \sqrt{17} = \sqrt{17}.$$

Из пункта а) известно, что $$\frac{CN}{CM} = \frac{LB}{LA} = \frac{3}{7}.$$ Введём переменную $t > 0$ такую, что $$CN = 3t, \quad CM = 7t.$$ Тогда вся хорда $$MN = CN + CM = 10t.$$

Опустим перпендикуляр $OH$ из центра большей окружности на хорду $MN$.
Так как $OH \perp MN$, точка $H$ — середина хорды (свойство радиуса, перпендикулярного хорде). Значит, $$MH = HN = \frac{MN}{2} = 5t.$$ Тогда $$CH = HN - CN = 5t - 3t = 2t.$$

В прямоугольном треугольнике $OHM$: $$OM = 2\sqrt{17}, \quad MH = 5t,$$ по теореме Пифагора: $$OH^2 = OM^2 - MH^2 = (2\sqrt{17})^2 - (5t)^2 = 68 - 25t^2. \tag{1}$$

Теперь рассмотрим меньшую окружность. Так как $MN$ касается её в точке $C$, радиус $QC$ перпендикулярен $MN$.
Прямая $OH$ также перпендикулярна $MN$, значит $$QC \parallel OH.$$

Проведём через точку $O$ прямую, параллельную $QC$ (и $OH$), и опустим перпендикуляр $OF$ на $QC$. Тогда $OF$ — расстояние между параллельными прямыми $QC$ и $OH$. Это расстояние равно расстоянию между точками $C$ и $H$ на прямой $MN$, то есть $$OF = CH = 2t.$$

Кроме того, $CF = OH$ (так как $OH$ и $CF$ — перпендикуляры между параллельными прямыми, они равны).
Поэтому $$QF = |QC - CF| = |QC - OH| = \left|\sqrt{17} - \sqrt{68 - 25t^2}\right|.$$ (Здесь $\sqrt{17}$ — радиус меньшей окружности, а $\sqrt{68 - 25t^2}$ — длина $OH$ из (1).)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OQF$. В нём: $$OQ = \sqrt{17}, \quad OF = 2t, \quad QF = \left|\sqrt{17} - \sqrt{68 - 25t^2}\right|.$$ По теореме Пифагора: $$OQ^2 = OF^2 + QF^2.$$ Подставляем: $$17 = (2t)^2 + \left(\sqrt{17} - \sqrt{68 - 25t^2}\right)^2. \tag{2}$$

Раскроем скобки и упростим уравнение.
Пусть $u = \sqrt{68 - 25t^2}$. Тогда (2) примет вид: $$17 = 4t^2 + 17 - 2\sqrt{17}\,u + u^2.$$ Но $u^2 = 68 - 25t^2$, поэтому: $$17 = 4t^2 + 17 - 2\sqrt{17}\sqrt{68 - 25t^2} + 68 - 25t^2.$$ Сокращаем $17$ и приводим подобные: $$0 = 4t^2 - 25t^2 + 68 - 2\sqrt{17}\sqrt{68 - 25t^2}$$ $$0 = -21t^2 + 68 - 2\sqrt{17}\sqrt{68 - 25t^2}.$$ Отсюда: $$2\sqrt{17}\sqrt{68 - 25t^2} = 68 - 21t^2. \tag{3}$$

Возведём обе части (3) в квадрат: $$4 \cdot 17 \cdot (68 - 25t^2) = (68 - 21t^2)^2.$$ $$68 \cdot (68 - 25t^2) = (68 - 21t^2)^2.$$ Раскроем: $$68^2 - 68\cdot 25t^2 = 68^2 - 2\cdot 68\cdot 21t^2 + (21t^2)^2.$$ Сокращаем $68^2$: $$-68\cdot 25t^2 = -2\cdot 68\cdot 21t^2 + 441t^4.$$ Переносим всё в одну сторону: $$0 = -2\cdot 68\cdot 21t^2 + 68\cdot 25t^2 + 441t^4.$$ Вычислим коэффициенты: $$-2\cdot 68\cdot 21 + 68\cdot 25 = 68(-42 + 25) = 68\cdot (-17) = -1156.$$ Значит: $$0 = -1156 t^2 + 441 t^4.$$ Вынесем $t^2$: $$t^2(441t^2 - 1156) = 0.$$ Так как $t > 0$, то $$441t^2 = 1156 \quad\Longrightarrow\quad t^2 = \frac{1156}{441} = \left(\frac{34}{21}\right)^2.$$ Следовательно, $$t = \frac{34}{21}.$$

Наконец, длина хорды: $$MN = 10t = 10 \cdot \frac{34}{21} = \frac{340}{21}.$$

$$\boxed{MN = \frac{340}{21}}.$$