Тип 14 № 20665

Решение

а)

Так как$KLMN$— квадрат, то его противоположные стороны параллельны:$KN \parallel LM$,$KL \parallel MN$.
Прямая $LM$ лежит в плоскости $ADB$(поскольку точки $L$ и $M$ лежат на рёбрах $AD$ и $BD$). Плоскости $(KLMN)$ и $(ABC)$ пересекаются по прямой $KN$, а $LM \parallel KN$, следовательно,$LM$ параллельна плоскости $ABC$. Значит, прямая $LM$ не пересекает плоскость $ABC$, а так как $AB$ лежит в плоскости $ABC$ и в плоскости $ADB$, то$LM$и$AB$параллельны (обе лежат в плоскости $ADB$ и не пересекаются).
Таким образом, все три прямые $KN$, $LM$ и $AB$ параллельны. Аналогично, рассматривая плоскости $(KLMN)$ и $(BCD)$, получаем, что $KL \parallel MN \parallel CD$.
Поскольку в квадрате$KL \perp LM$, то$CD \perp AB$, что и требовалось доказать.

б)

Искомое расстояние от точки $B$ до плоскости $KLM$ равно высоте пирамиды $BKMN$, опущенной из вершины $B$ на плоскость основания $KMN$.

Площадь прямоугольного треугольника$KMN$: $$S_{KMN} = \frac{1}{2} \cdot KN \cdot NM = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2.$$

Для нахождения объёма $V_{BKMN}$ воспользуемся подобием. В треугольнике $ACB$ точка$K$делит ребро $AC$ в отношении $AK:KC = 2:3$, значит, расстояние от точки$K$до плоскости $BCD$ составляет $\frac{3}{5}$ от высоты $AH$ тетраэдра $ABCD$, опущенной из вершины $A$ на грань $BCD$. С другой стороны, плоскость $BMN$ параллельна плоскости $BCD$ (так как $MN \parallel CD$), и треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BCD$ с коэффициентом $\frac{2}{5}$ (поскольку$BN = \frac{2}{5}BC$ и $BM = \frac{2}{5}BD$). Следовательно, площади этих треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: $$S_{BMN} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 S_{BCD} = \frac{4}{25} S_{BCD}.$$

Теперь выразим объём пирамиды $BKMN$: $$V_{BKMN} = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3}{5}AH\right) \cdot S_{BMN} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}AH \cdot \frac{4}{25}S_{BCD}.$$ Но $\frac{1}{3} AH \cdot S_{BCD} = V_{ABCD} = 25$. Поэтому $$V_{BKMN} = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{25} \cdot 25 = \frac{12}{5}.$$

Наконец, высота$h$пирамиды$BKMN$(она же расстояние от$B$до плоскости$KLM$) находится по формуле: $$h = \frac{3V_{BKMN}}{S_{KMN}} = \frac{3 \cdot \frac{12}{5}}{2} = \frac{36}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{18}{5}.$$

$$\boxed{\frac{18}{5}}$$

Ответ:

a)$AB \perp CD$; б)$\displaystyle \frac{18}{5}$.