Тип 19 № 20670

Решение

а)

Да, может. Покажем последовательность действий:

1. Отрезаем от единственной линейки $8$ см — получаем две линейки по $8$ см.
2. От каждой линейки отрезаем $4$ см — получаем четыре линейки по $4$ см.
3. От каждой линейки отрезаем $2$ см — получаем восемь линеек по $2$ см.
4. От каждой линейки отрезаем $1$ см — получаем шестнадцать линеек по $1$ см.

Таким образом, за $4$ хода линейка длиной $16$ см полностью разделена на части по $1$ см.

Ответ: да, может.

б)

За один ход Егор может разделить каждую имеющуюся линейку на две части, следовательно, общее количество линеек за один ход увеличивается не более чем вдвое. Изначально есть одна линейка. После $5$ ходов максимальное число линеек не превосходит $$2^5 = 32.$$ Чтобы получить $100$ частей по $1$ см, необходимо иметь $100$ линеек. $100 > 32$, значит, за $5$ ходов это невозможно.

Ответ: нет, не может.

в)}

Оценим снизу: после $7$ ходов максимальное число линеек равно $2^7 = 128$, что меньше $200$. Следовательно, семи ходов недостаточно.

Покажем, что $8$ ходов достаточно. Будем действовать по следующей схеме:

После $8$-го хода все линейки имеют длину $1$ см, то есть задача выполнена. Следовательно, минимальное количество ходов равно $8$.

Ответ: $8$ ходов.

Окончательные ответы:

а) да;

б) нет;

в) $8$.