Тип 3 № 71

а) Так как четырёхугольник $AKLM$ является трапецией, его основания параллельны, следовательно, $AM \parallel KL$. Прямая $ML$ не может быть параллельна $AK$, поскольку она пересекает плоскость основания $ABCD$, в которой лежит $AK$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $AA_1M$ и $LCK$. Они имеют по равному острому углу (углы между соответствующими сторонами), поэтому они подобны. Из подобия вытекает пропорция: $$\frac{LC}{AA_1} = \frac{KC}{A_1M}.$$ По условию $KC$ в четыре раза меньше ребра основания, а $A_1M$ в два раза меньше ребра основания. Следовательно, $$\frac{LC}{AA_1} = \frac{LC}{CC_1} =\frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2},$$ то есть $$CC_1 = 2LC.$$ Откуда $LC = LC_1$. Что и требовалось доказать.

б) Пусть сторона основная призмы равна $8a$.

Из прямоугольных треугольников $MB_1C_1$, $ADK$, $MC_1L$:

$$MC_1 = \sqrt{(8a)^2 + (4a)^2} = \sqrt{80a^2}= 4\sqrt5a$$ $$AK = \sqrt{(\tfrac{3}{4}\cdot CD)^2 + (8a)^2} = \sqrt{36a^2 + 64a^2} = 10a$$ $$ML = \sqrt{80a^2 + \frac{5}{2}}$$

Так как $AMLK$ -- равнобедренная трапеция: $ML = AK$.

Откуда:

$$\sqrt{80a^2 + \frac{5}{2}}= 10a \Leftrightarrow 80a^2 + \frac{5}{2} = 100a^2 \Leftrightarrow 20a^2 = \frac{5}{2} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow a^2 = \frac{1}{8}$$

Найдём объём призмы:

$$V = 8a\cdot8a\cdot5 = 64a^2\cdot5 = 64\cdot\frac{1}{8}\cdot 5 = 40$$

Ответ: 40