Кинематика

Кинематика описывает, как движется тело, не выясняя, почему. Это язык, на котором в физике говорят о движении: от автомобиля и мяча до планет и частиц.

Где встречается в ЕГЭ. Напрямую — в задании №1: по графикам $x(t)$ и $v_x(t)$ нужно найти скорость, ускорение, путь и перемещение. Также кинематика нужна в заданиях №5, №6 и №22, а умение работать с движением и графиками пригодится в задании №26.

Чему ты научишься

отличать траекторию, путь и перемещение и находить каждую из этих величин;
находить скорость и среднюю скорость, в том числе при движении туда и обратно;
считать ускорение, пользоваться формулами равноускоренного движения и читать графики $x(t)$ , $v_x(t)$ , $a_x(t)$ .

Система отсчёта и координата

Механическое движение — изменение положения тела относительно других тел с течением времени. Чтобы описывать его однозначно, нужна система отсчёта: тело отсчёта (например, Земля), система координат с выбранным направлением оси и часы.

Если размерами тела можно пренебречь по сравнению с пройденными расстояниями, его считают материальной точкой. Пассажир в автобусе покоится относительно автобуса, но движется относительно дороги, поэтому слова «скорость 10 м/с» имеют смысл только вместе с системой отсчёта.

Координата $x$ показывает положение тела на оси относительно начала отсчёта. Изменение координаты (проекция перемещения на ось):

$\Delta x = x_2 - x_1 .$

Траектория, путь и перемещение

Эти три понятия путают чаще всего.

Рис. 1.Путь — длина всей кривой (синяя линия), перемещение — прямой вектор от старта к финишу (красная стрелка).

Траектория — линия, по которой движется тело.
Путь $S$ — длина траектории. Скаляр, $S \ge 0$ , со временем только растёт.
Перемещение $\vec{s}$ — вектор из начального положения в конечное. Его модуль — кратчайшее расстояние между началом и концом.

Свойство	Путь $S$	Перемещение $\vec{s}$
Что это	длина траектории	вектор от начала к концу
Тип величины	скаляр	вектор (проекция может быть $<0$ )
Зависит от	формы траектории	только от начальной и конечной точек
Соотношение	в общем случае $\lvert\vec{s}\rvert \le S$	равенство — только при движении по прямой без разворотов

Разница пути и перемещения трактора

Рис. 2. Трактор проехал от $x = 1$ м до $x = 9$ м и вернулся в $x = 4$ м. Путь складывается из двух участков, перемещение определяется только началом и концом.

Скорость

Слово «скорость» имеет в физике три смысла, и в задаче важно понять, какой из них нужен.

Вид скорости	Что показывает	Формула
Мгновенная	скорость в данный момент, направлена по касательной к траектории	$v_x = \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$
Средняя путевая	какой путь тело проходит за единицу времени	$v_{\text{ср}} = \dfrac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}$
Средняя по перемещению	как быстро и куда в среднем смещается тело	$v_x = \dfrac{\Delta x}{\Delta t} = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$

Для задач с координатами важна проекция скорости на ось: именно она равна наклону графика $x(t)$ . Чем круче линия, тем больше $\lvert v_x \rvert$ . Единицы: 1 м/с = 3,6 км/ч, например 72 км/ч = 20 м/с.

графики кинематики

Рис. 3. Слева: $v_x = \Delta x / \Delta t$ — наклон графика $x(t)$ . Справа: движение вперёд (1), покой (2), движение назад (3).

Как найти среднюю путевую скорость

Главное правило: нельзя автоматически брать среднее арифметическое скоростей. Всегда считаем через весь путь и всё время:

$v_{\text{ср}} = \frac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}} .$

Разбей движение на участки с постоянной скоростью.
На каждом найди путь и время ( $S_i = v_i t_i$ ).
Сложи все пути и все времена, раздели общий путь на общее время.

Два частных случая.

Равные времена на участках: $v_{\text{ср}} = \dfrac{v_1 + v_2}{2}$ — среднее арифметическое подходит.
Равные пути на участках: $v_{\text{ср}} = \dfrac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$ . Вывод: при пути $S$ имеем $t = \dfrac{S/2}{v_1} + \dfrac{S/2}{v_2} = \dfrac{S(v_1 + v_2)}{2 v_1 v_2}$ , затем $v_{\text{ср}} = S/t$ .

Ускорение

Если скорость меняется, появляется ускорение:

$a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{v_{x2} - v_{x1}}{t_2 - t_1}, \qquad [a_x] = \text{м/с}^2 .$

Запись $a = 2$ м/с² означает: за каждую секунду скорость меняется на 2 м/с. Ускорение не говорит о том, что тело «быстро движется», — оно говорит, что скорость меняется.

Равномерное и равноускоренное движение

Основные формулы (в проекциях на ось $x$ ):

Движение	Формулы
Равномерное ( $a_x = 0$ )	$S = vt$ , $\quad x = x_0 + v_x t$
Равноускоренное ( $a_x = \text{const}$ )	$v_x = v_{0x} + a_x t$ , $\quad \Delta x = v_{0x} t + \dfrac{a_x t^2}{2}$ , $\quad x = x_0 + v_{0x} t + \dfrac{a_x t^2}{2}$
Без времени / через среднюю скорость	$\Delta x = \dfrac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2 a_x}$ , $\quad \Delta x = \dfrac{v_{0x} + v_x}{2}\, t$

Графики $x(t)$ , $v_x(t)$ , $a_x(t)$

Ниже — одно и то же движение: тело стартует из начала координат со скоростью 6 м/с, ускорение $-2$ м/с², то есть $x = 6t - t^2$ .

Одно движение на трёх графиках

Рис. 4. Одно движение на трёх графиках: $x(t)$ — парабола, $v_x(t)$ — наклонная прямая, $a_x(t)$ — горизонтальная прямая. В момент $t = 3$ с скорость равна нулю: тело останавливается и разворачивается.

Вершина параболы $x(t)$ приходится на момент, когда $v_x(t)$ пересекает ось времени: в точке остановки скорость равна нулю, а координата достигает максимума или минимума. Если $a_x > 0$ , ветви параболы $x(t)$ направлены вверх, а $v_x(t)$ растёт; если $a_x < 0$ — вниз, а $v_x(t)$ убывает.

График	Значение в точке	Наклон	Площадь под графиком
$x(t)$	координата $x$	скорость $v_x$	—
$v_x(t)$	скорость $v_x$	ускорение $a_x$	перемещение $\Delta x$
$a_x(t)$	ускорение $a_x$	—	изменение скорости $\Delta v_x$

Путь и перемещение по графику $v_x(t)$

Площадь между графиком и осью времени: выше оси — «плюс», ниже оси — «минус». Сумма со знаками даёт перемещение $\Delta x$ , сумма площадей без знака — путь $S$ .

сначала тело едет вперёд (+9 м), затем возвращается

Рис. 5. Для движения из рис. 4: сначала тело едет вперёд (+9 м), затем возвращается (−9 м). Координата за 6 с вернулась в нуль, хотя пройдено 18 м.

Разбор задачи в формате ЕГЭ

По графику зависимости координаты тела от времени определим всё, о чём любят спрашивать на экзамене.

I — движение вперёд, II — покой, III — возвращение

Рис. 6. I — движение вперёд, II — покой, III — возвращение.

$v_x$ на участках — это наклон. I: $\dfrac{8 - 2}{2} = 3$ м/с; II: 0; III: $\dfrac{0 - 8}{4} = -2$ м/с. Наибольший модуль скорости — на участке I.
Перемещение за 8 с: $\Delta x = x(8) - x(0) = 0 - 2 = -2$ м.
Путь за 8 с: $6 + 0 + 8 = 14$ м.
Средняя путевая скорость: $14/8 = 1{,}75$ м/с.
Проекция средней скорости: $-2/8 = -0{,}25$ м/с.
Когда $x = 5$ м? На I: $2 + 3t = 5$ , $t = 1$ с. На III: $8 - 2(t - 4) = 5$ , $t = 5{,}5$ с.

Типичные ошибки

Ошибка	Как правильно
Путают путь и перемещение	путь — длина траектории ( $\ge 0$ ), перемещение — вектор из начала в конец
Средняя скорость = среднее арифметическое	$v_{\text{ср}} = S_{\text{общ}} / t_{\text{общ}}$ ; среднее арифметическое верно только при равных временах
Не переводят км/ч в м/с	1 м/с = 3,6 км/ч; приводи данные к одной системе единиц
Считают, что $a < 0$ всегда значит торможение	смотри на знаки $v_x$ и $a_x$ : одинаковые — разгон, разные — торможение
Считают путь по формуле после остановки	сначала найди время остановки $v_0 / \lvert a \rvert$ ; дальше тело не движется
Принимают график $x(t)$ за траекторию	график показывает, как координата меняется во времени, а не форму пути
Не учитывают знак площади под $v_x(t)$	для перемещения площади под осью вычитают, для пути — складывают

Шпаргалка

Что найти	Формула	Комментарий
Изменение координаты	$\Delta x = x_2 - x_1$	может быть отрицательным
Скорость (проекция)	$v_x = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$	наклон графика $x(t)$
Средняя путевая скорость	$v_{\text{ср}} = \dfrac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}$	не среднее арифметическое!
Равные пути, $v_1$ и $v_2$	$v_{\text{ср}} = \dfrac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$	туда и обратно
Ускорение	$a_x = \dfrac{\Delta v_x}{\Delta t}$	наклон графика $v_x(t)$
Равномерное движение	$x = x_0 + v_x t$	$a = 0$
Скорость при $a = \text{const}$	$v_x = v_{0x} + a_x t$
Закон движения при $a = \text{const}$	$x = x_0 + v_{0x} t + \dfrac{a_x t^2}{2}$	парабола на графике
Перемещение без времени	$\Delta x = \dfrac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2 a_x}$
Перемещение через среднюю скорость	$\Delta x = \dfrac{v_{0x} + v_x}{2}\, t$	при $a = \text{const}$

Задачи для самопроверки

Бегун пробегает круг стадиона длиной 400 м за 80 с и возвращается на старт. Найдите путь, перемещение, среднюю путевую скорость и среднюю скорость по перемещению.
Половину пути автомобиль проехал со скоростью 6 м/с, вторую половину — со скоростью 12 м/с. Найдите среднюю скорость на всём пути.
Координата тела меняется по закону $x = 4 - 3t + t^2$ (СИ). Найдите $x_0$ , $v_{0x}$ , $a_x$ , скорость через 3 с, момент остановки и путь за первые 3 с.
Автомобиль движется со скоростью 20 м/с и тормозит с ускорением 5 м/с². Найдите тормозной путь.
Скорость велосипедиста за 3 с равномерно выросла с 2 до 8 м/с. Найдите ускорение и пройденный путь.

Ответы

$S = 400$ м; перемещение 0; $v_{\text{ср}} = 400/80 = 5$ м/с; средняя скорость по перемещению 0.
$v_{\text{ср}} = \dfrac{2 \cdot 6 \cdot 12}{6 + 12} = 8$ м/с.
$x_0 = 4$ м, $v_{0x} = -3$ м/с, $a_x = 2$ м/с²; $v_x(3) = 3$ м/с; остановка при $t = 1{,}5$ с, там $x = 1{,}75$ м; путь $2{,}25 + 2{,}25 = 4{,}5$ м (перемещение 0, так как $x(3) = 4$ м).
$t = 4$ с, $S = 40$ м.
$a = (8 - 2)/3 = 2$ м/с²; $S = \dfrac{2 + 8}{2} \cdot 3 = 15$ м.