Законы Ньютона

Кинематика отвечает на вопрос «как движется тело». Динамика отвечает на вопрос «почему»: что именно заставляет тело ускоряться, тормозить или двигаться равномерно. Основа динамики — три закона Ньютона.

Где встречается в ЕГЭ. Динамика проверяется в задании №2: расчётная задача на законы Ньютона, закон всемирного тяготения, силу упругости (закон Гука) и силу трения. В заданиях №5 и №6 нужно анализировать ситуации и читать графики. В расчётных заданиях №22 и №26 законы Ньютона используются для решения задач на движение тел под действием нескольких сил, а в №26 ещё нужно письменно обосновать, почему эти законы здесь применимы.

Чему ты научишься

находить равнодействующую сил и ускорение по второму закону Ньютона;
правильно применять первый и третий законы и не путать силы, приложенные к разным телам;
считать силу тяжести, упругости, трения, тяготения и вес тела;
оформлять решение динамической задачи, в том числе с обоснованием применимости законов, как в №26.

Сила, масса, инерциальная система отсчёта

Сила — векторная величина, мера действия одного тела на другое. Измеряется в ньютонах (Н): 1 Н = 1 кг·м/с². Если на тело действуют несколько сил, их заменяют равнодействующей — векторной суммой:

$\vec{F}_{\text{рав}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots$

Для двух взаимно перпендикулярных сил её модуль находят по теореме Пифагора: $F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$ . Для сил вдоль одной прямой складывают проекции с учётом знаков.

Масса $m$ — мера инертности тела: чем больше масса, тем труднее изменить скорость тела.

Законы Ньютона выполняются не в любой системе отсчёта, а в инерциальной (ИСО). Это такая система, в которой тело, на которое не действуют другие тела (или их действие скомпенсировано), движется равномерно и прямолинейно. С хорошей точностью ИСО является система, связанная с Землёй. Система отсчёта, связанная с ускоренно движущимся автобусом или каруселью, неинерциальна.

Первый закон Ньютона

Принцип относительности Галилея: во всех ИСО механические явления протекают одинаково, поэтому равномерное прямолинейное движение нельзя отличить от покоя опытами внутри системы.

Второй закон Ньютона

Закон записывают в проекциях на оси. Для оси $x$ : $ma_x = \sum F_x$ . В импульсной форме тот же закон: $\vec{F}\,\Delta t = \Delta\vec{p}$ , где $\vec{p} = m\vec{v}$ .

Брусок на горизонтальной поверхности: вверх сила реакции опоры N, вниз сила тяжести mg, вправо сила тяги F, влево сила трения

Рис. 1. Брусок на горизонтальной поверхности. Вертикальные силы уравновешены, по горизонтали ускорение создаёт разность $F - F_{\text{тр}}$ .

По $y$ : $N = mg$ ( $a_y = 0$ ). По $x$ : $ma = F - F_{\text{тр}}$ .

Алгоритм решения задач по динамике

Выбери ИСО, сделай рисунок и покажи все силы, действующие на тело (не силы, которые тело оказывает на другие тела).
Направь ось $x$ по ускорению (если направление неизвестно, выбери любое: знак ответа подскажет).
Запиши второй закон Ньютона в проекциях на оси: $ma = \sum F_x$ и $0 = \sum F_y$ .
Выпиши формулы сил ( $\mu N$ , $k\,\Delta x$ , $mg$ и так далее), реши систему.

Третий закон Ньютона

Силы в механике

Сила	Формула (кодификатор ЕГЭ)	Особенности
Тяжести	$F = mg$ , $g = 10$ м/с²	направлена вертикально вниз
Всемирного тяготения	$F = G\dfrac{m_1 m_2}{R^2}$	$R$ — расстояние между центрами; при увеличении $R$ вдвое сила уменьшается в 4 раза
Упругости (закон Гука)	$F_{\text{упр}} = k\,\lvert\Delta x\rvert$	$k$ — жёсткость, $\Delta x$ — деформация; направлена против деформации
Трения скольжения	$F_{\text{тр}} = \mu N$	против скорости, не зависит от площади соприкосновения
Трения покоя	$F_{\text{тр}} \le \mu N$	уравновешивает внешнюю силу, пока не достигнет максимума
Реакции опоры	$N$ из второго закона Ньютона	перпендикулярна поверхности

Вес тела $\vec{P}$ — сила, с которой тело действует на опору или подвес. Это сила упругости, приложенная к опоре; по третьему закону $P = N$ . Вес не равен силе тяжести: он зависит от ускорения. Для тела на опоре, ускорение которой направлено вверх: $P = m(g + a)$ ; вниз: $P = m(g - a)$ . При $a = g$ вес равен нулю (невесомость).

Слева: график силы упругости от удлинения — прямая, наклон равен жёсткости 100 Н/м. Справа: график силы трения от внешней силы — рост до максимума, затем постоянное значение µN

Рис. 2. Слева: график $F_{\text{упр}}(\Delta x)$ — прямая, наклон равен жёсткости пружины. Справа: пока тело не сдвинулось, сила трения покоя равна внешней силе; после начала скольжения она постоянна и равна $\mu N$ .

Типовые задачи

Наклонная плоскость

Тело массой $m$ на гладкой наклонной плоскости с углом $\alpha$ . Сила тяжести раскладывается: вдоль плоскости $mg\sin\alpha$ , перпендикулярно $mg\cos\alpha$ . Тогда $N = mg\cos\alpha$ , $ma = mg\sin\alpha$ , $a = g\sin\alpha$ . С трением: $a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$ .

Тело на наклонной плоскости с углом α: сила тяжести mg, реакция опоры N, составляющие mg sin α вдоль плоскости и mg cos α перпендикулярно

Рис. 3. Силы, действующие на тело на наклонной плоскости. Составляющая $mg\sin\alpha$ вдоль плоскости создаёт ускорение, составляющая $mg\cos\alpha$ уравновешивается реакцией опоры.

Связанные тела

Тела, соединённые нитью, двигаются с одинаковым по модулю ускорением (нить нерастяжима). Для невесомой нити и невесомого блока без трения силы натяжения по обе стороны блока одинаковы. Для каждого тела пишут свой второй закон Ньютона, ось направляют по ускорению этого тела.

Задание №26: как оформить обоснование

В задании №26 (механика, 4 балла) за решение дают до 3 баллов, ещё 1 балл — за обоснование применимости законов. По рекомендациям ФИПИ, для задач на движение связанных тел достаточно такого набора пунктов:

Шаблон обоснования (законы Ньютона)

Задачу решаем в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй (столом).
Тела движутся поступательно, поэтому считаем их материальными точками и применяем законы Ньютона.
Нить невесома и нерастяжима, блок невесом и трение в оси блока отсутствует. Поэтому силы натяжения нити по обе стороны блока равны по модулю, а ускорения тел равны по модулю.
Если нужно: сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Разбор заданий в формате ЕГЭ

№2-тип. На тело массой 2 кг, лежащее на гладкой горизонтальной поверхности, действуют две горизонтальные силы 3 Н и 4 Н, направленные перпендикулярно друг другу. Каков модуль ускорения?

Решение: $F = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ Н, $a = F/m = 2{,}5$ м/с². Ответ: 2,5.

№2-тип. К пружине жёсткостью 200 Н/м подвесили груз массой 0,5 кг. Каково удлинение пружины в равновесии?

Решение: $mg = k\,\Delta x$ , $\Delta x = \dfrac{5}{200} = 0{,}025$ м $= 2{,}5$ см. Следи за единицами в ответе.

№5, выбор верных утверждений. Брусок движется по горизонтальной поверхности равномерно и прямолинейно под действием постоянной горизонтальной силы тяги. Выберите все верные утверждения.

Равнодействующая всех сил, действующих на брусок, равна нулю.
На брусок не действуют никакие силы.
Сила тяги равна по модулю силе трения скольжения.
Сила тяги больше силы трения, поэтому скорость постоянна.
Сила тяжести и сила реакции опоры составляют пару сил по третьему закону Ньютона.

Разбор. Верны 1 и 3. Утверждение 2 неверно: силы есть, но скомпенсированы. Утверждение 4 неверно: при $F > F_{\text{тр}}$ тело ускорялось бы. Утверждение 5 неверно: $m\vec{g}$ и $\vec{N}$ приложены к одному телу, пара третьего закона — это $\vec{N}$ и $\vec{N}'$ . Ответ: 13.

№6, изменение величин. Космический корабль удаляется от Земли, при этом расстояние между центрами корабля и Земли увеличилось в 2 раза. Как изменятся сила тяготения, действующая на корабль со стороны Земли, и ускорение корабля, вызванное этой силой? 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится.

Разбор. $F = G\dfrac{Mm}{R^2}$ : при росте $R$ вдвое сила уменьшается в 4 раза. Ускорение $a = F/m$ тоже уменьшается в 4 раза (масса корабля не меняется). Ответ: 22.

Типичные ошибки

Ошибка	Как правильно
Считают, что движение с постоянной скоростью требует силы	скорость постоянна, если равнодействующая равна нулю (первый закон)
Считают $mg$ и $N$ парой третьего закона	пара третьего закона: силы на разных телах ( $N$ на книгу и $N'$ на стол)
Рисуют на схеме силы, действующие на другие тела	на схеме только силы, приложенные к рассматриваемому телу
Считают, что сила трения всегда равна $\mu N$	$\mu N$ только при скольжении; у покоя $F_{\text{тр}} \le \mu N$ и она равна внешней силе
Считают вес всегда равным $mg$	вес $P = m(g \pm a)$ , он зависит от ускорения опоры
Путают массу и вес, кг и Н	масса измеряется в кг, сила и вес в Н
Забывают про $\sum F_y = 0$ при наклоне или трении	сначала найди $N$ из проекции на вертикаль (перпендикуляр), потом $\mu N$
В №26 не пишут обоснование	запиши ИСО, модель материальных точек, свойства нити и блока

Шпаргалка

Что	Формула	Комментарий
Первый закон	$\sum \vec{F} = 0 \Rightarrow \vec{a} = 0$	ИСО
Второй закон	$\vec{a} = \dfrac{\sum \vec{F}}{m}$	в проекциях на оси
Импульсная форма	$\vec{F}\,\Delta t = \Delta\vec{p}$	$\vec{p} = m\vec{v}$
Третий закон	$\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$	разные тела
Сила тяжести	$F = mg$	$g = 10$ м/с²
Тяготение	$F = G\dfrac{m_1 m_2}{R^2}$	$R$ между центрами
Сила упругости	$F = k\,\lvert\Delta x\rvert$	жёсткость $k$
Трение скольжения / покоя	$F = \mu N$ / $F \le \mu N$	$N$ из проекции на нормаль
Вес в лифте	$P = m(g \pm a)$	«+» ускорение вверх
Наклонная плоскость	$a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$	вниз по плоскости

Задачи для самопроверки

Тело массой 4 кг движется под действием силы 12 Н. Найдите ускорение. Как изменится ускорение, если массу увеличить вдвое при той же силе?
Груз массой 3 кг равномерно тянут по горизонтальному столу, $\mu = 0{,}3$ . Найдите силу тяги и силу реакции опоры.
Пружину жёсткостью 100 Н/м растянули на 5 см. Найдите силу упругости. Какой груз повиснет на этой пружине при таком удлинении?
Тело съезжает с гладкой наклонной плоскости с углом $30^\circ$ . Найдите ускорение. Как оно изменится, если тело тяжелее вдвое?
Лифт поднимается с ускорением 1 м/с². Найдите вес пассажира массой 70 кг. При каком ускорении, направленном вниз, вес станет равным нулю?