Механика

1. Определим $l_0$ — длину пружины в недеформированном состоянии.

По графику видно, что при $F = 0$ длина $l = 3$ см. Значит, $l_0 = 3$ см.

2. Определим жёсткость пружины $k$.

Формула: $F = k|l - l_0|$.

Возьмём точку $l = 5$ см, $F = 4$ Н: $$F = k|l - l_0| \implies 4 = k|5 - 3| = k \cdot 2 \implies k = 2~\text{Н/см} = 200~\text{Н/м}$$

3. Проверим утверждения:

• [1)] Неверно. Закон Гука выполняется для всех деформаций, где график линейный (от 1 до 5 см).
• [2)] Верно. Длина в недеформированном состоянии $l_0 = 3$ см.
• [3)] Неверно. Жёсткость $k = 200$ Н/м.
• [4)] Неверно. При $l = 1$ см график обрывается, значит, указан предел сжатия.
• [5)] Верно. $|l - l_0| = 1$ см, $F = 200 \cdot 0{,}01 = 2$ Н,

На тело, погружённое в жидкость, действует сила Архимеда: $$F=\rho\,g\,V_{\text{погр}},$$ где $\rho$ — плотность жидкости, $V_{\text{погр}}$ — объём погружённой части тела [web:333][web:343].

Если тело плавает, то его средняя плотность $\rho_t$ не превышает плотность жидкости $\rho$. По графику видно: при $\rho\le 1{,}0\ \text{г/см}^3$ цилиндр полностью погружён ($V_{\text{погр}}=10\ \text{см}^3$), а при $\rho>1{,}0\ \text{г/см}^3$ объём погружения убывает — тело всплывает выше. Следовательно, плотность цилиндра $\rho_t=1{,}0\ \text{г/см}^3$ (равно плотности жидкости на границе полного погружения).

1. «В бензине и спирте сила Архимеда одинакова». В бензине $V_{\text{погр}}=10\ \text{см}^3$, а у спирта $V_{\text{погр}}$ меньше; так как $F\propto \rho V_{\text{погр}}$, получаем $F_{\text{бензин}}<F_{\text{спирт}}$ неверно: при меньшем объёме погружения сила меньше при близких $\rho$. Утверждение 1 — неверно.

2. «Цилиндр тонет в спирте». Так как $\rho_t=1{,}0\ \text{г/см}^3$ больше плотности спирта ($\rho_{\text{спирт}}\approx 0{,}79\ \text{г/см}^3$), то цилиндр тонет.

3. «На цилиндр, плавающий в бромоформе, действует выталкивающая сила около 35 мН». По формуле $F=\rho g V_{\text{погр}}$ с $\rho_{\text{бр}}=2{,}89\ \text{г/см}^3$ и $V_{\text{погр}}\approx 3{,}5\ \text{см}^3$ получаем $$F \approx (2{,}89\ \text{г/см}^3)\cdot (10\ \text{Н/кг}) \cdot (3{,}5\ \text{см}^3) =0{,}101\ \text{Н}=101\ \text{мН},$$ что намного больше 35 мН. Следовательно, утверждение 3 — неверно.

4. «Цилиндр плавает во всех жидкостях из таблицы». Он тонет в жидкостях с $\rho<1{,}0\ \text{г/см}^3$ только если $\rho_t>\rho$ и требуется полное погружение; по графику видно, что при малых $\rho$ он полностью погружён, то есть не всплывает. Следовательно, утверждение 4 — неверно (есть жидкости, где наблюдается тонут/полное погружение).

5. «При плавании цилиндра в хлороформе и дийодметане сила Архимеда одинакова». Рассчитаем по $F=\rho g V_{\text{погр}}$:

• для хлороформа $\rho=1{,}49\ \text{г/см}^3$, $V_{\text{погр}}\approx 6{,}8\ \text{см}^3$ ⇒ $F_{\text{хлор}}\approx 0{,}101\ \text{Н}=101\ \text{мН}$;
• для дийодметана $\rho=3{,}25\ \text{г/см}^3$, $V_{\text{погр}}\approx 3{,}0\ \text{см}^3$ ⇒ $F_{\text{дийод}}\approx 0{,}098\ \text{Н}=98\ \text{мН}$. Силы близки, практически одинаковы. Утверждение 5 — верно .

1. Плотность материала брусков. Поскольку два бруска плавают так, что уровень воды на границе между ними, значит, погружён ровно один брусок из двух. Тогда объём погружённой части $V_{\text{погр}} = V_{\text{бруска}}$, масса погружённой части $m_{\text{погр}} = 1$ кг. Сила Архимеда равна весу двух брусков: $F_A = \rho_{\text{воды}} g V_{\text{погр}} = 2m_{\text{бруска}} g$. Значит, $\rho_{\text{мат}} = \frac{\rho_{\text{воды}}}{2} = \frac{1000}{2} = 500 \text{ кг/м}^3$.

2. Сила Архимеда равна весу двух брусков: $F_A = 2m_{\text{бруска}} g = 2 \cdot 10 = 20$ Н.

3. Если заменить воду на керосин (меньшая плотность), глубина погружения увеличится, а не уменьшится.

4. Если на верхний брусок положить груз $1{,}5$ кг, общая масса составит $2 + 1{,}5 = 3{,}5$ кг. Максимальная сила Архимеда (оба бруска полностью погружены): $F_A = 2 \cdot 2 \cdot 10 = 40$ Н, а вес $3{,}5 \cdot 10 = 35$ Н. Значит, бруски не утонут.

5. Если добавить ещё один брусок, масса увеличится в $1{,}5$ раза, и глубина погружения увеличится на $2{,}5$ см, так как $5 \cdot 1{,}5 = 7{,}5$ см, а $7{,}5 - 5 = 2{,}5$ см.

1. Плотность материала брусков. Поскольку два бруска плавают так, что уровень воды на границе между ними, значит, погружён ровно один брусок из двух. Тогда объём погружённой части $V_{\text{погр}} = V_{\text{бруска}}$, масса погружённой части $m_{\text{погр}} = 1$ кг. Сила Архимеда равна весу двух брусков: $F_A = \rho_{\text{воды}}\, g\, V_{\text{погр}} = 2\, m_{\text{бруска}}\, g$. Значит, $\rho_{\text{мат}} = \dfrac{\rho_{\text{воды}}}{2} = \dfrac{1000}{2} = 500~\text{кг/м}^3$.

2. Сила Архимеда равна весу двух брусков: $F_A = 2\, m_{\text{бруска}}\, g = 2 \cdot 10 = 20$ Н.

3. Если заменить воду на керосин (меньшая плотность), глубина погружения увеличится.

4. Если на верхний брусок положить груз $0{,}5$ кг, общая масса составит $2 + 0{,}5 = 2{,}5$ кг. Максимальная сила Архимеда (оба бруска полностью погружены): $F_A = 2 \cdot 2 \cdot 10 = 40$ Н, а вес $2{,}5 \cdot 10 = 25$ Н. Значит, бруски не утонут.

5. Если добавить ещё один брусок, масса увеличится в $1{,}5$ раза, и глубина погружения увеличится на $2{,}5$ см, так как $5 \cdot 1{,}5 = 7{,}5$ см; $7{,}5 - 5 = 2{,}5$ см.

• Период колебаний: $T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{0{,}5} = 2$ с.
• 1. При движении из положения 1 в 2 модуль проекции ускорения на $x$ действительно уменьшается, так как $a_x = -\omega^2 x$, а $|x|$ уменьшается по мере приближения к положению равновесия. Утверждение верно.
• 2. Потенциальная энергия максимальна в крайних положениях (1 и 3). Из положения 1 до положения 3 — полпериода, $T/2 = 1$ с. Значит, утверждение верно.
• 3. Маятник вернётся в положение 1 через полный период, $T = 2$ с. Через 4 с — это два периода, то есть маятник вернётся во второй раз. Утверждение неверно.
• 4. Кинетическая энергия максимальна в положении равновесия (2), то есть через четверть периода, $T/4 = 0{,}5$ с. Через 1 с — это полпериода, маятник в крайнем положении, где кинетическая энергия равна нулю. Утверждение неверно.
• 5. Полная механическая энергия сохраняется (нет потерь), она не увеличивается. Утверждение неверно.