Тип 22 № 11331

На стержень действуют сила тяжести шара $mg$, силы реакции левой стены $N_1$, силы реакции правой стены $N$, и сила реакции дна $N_3$ (см. рисунок). Боковые стенки и дно считаем абсолютно гладкими, поэтому сила трения равна нулю.

Пусть $l$ — длина стержня, $AB = BC = l/2$.

Рассмотрим условие равновесия моментов относительно точки $A$. Момент силы $N$ равен нулю, потому что линия действия этой силы проходит через точку $A$.

Плечо силы тяжести $mg$: $$OE = \frac{l}{2} \sin \alpha$$ $$M_1 = -m g \cdot \frac{l}{2} \sin \alpha$$ (Минус, потому что сила пытается повернуть рычаг по часовой стрелке.)

Плечо силы $N$: $$AO = l \cos \alpha, \qquad M_2 = -N\cdot l \cos \alpha$$ (Тоже по часовой стрелке.)

Плечо силы $N_3$: $$OC = l \sin \alpha, \qquad M_3 = N_3 \cdot l \sin \alpha$$ (Против часовой стрелки.)

Запишем общее условие равновесия по моментам: $$M_1 + M_2 + M_3 = 0$$ $$-m g \cdot \frac{l}{2} \sin \alpha - N \cdot l \cos \alpha + N_3 \cdot l \sin \alpha = 0$$

Разделим обе части на $l$: $$-m g \cdot \frac{1}{2} \sin \alpha - N \cos \alpha + N_3 \sin \alpha = 0 \tag{1}$$

Теперь учтём сумму всех сил — система находится в равновесии: $$\vec{N}_1 + \vec{N} + \vec{N}_3 + m \vec{g} = 0$$

Направим оси $OY$ вверх, а ось $OX$ вправо: $$OY: \qquad -m g + N_3 = 0$$ $$N_3 = m g \tag{2}$$ $$OX: \qquad N=N_1 \tag{3}$$

Подставим $N_3$ из (2) и $N_1 $ из (3) в (1): $$-m g \cdot \sin \alpha - 2N \cos \alpha + 2m g \sin \alpha = 0$$ $$N = \frac{m g \cdot \tan \alpha}{2}$$

Ответ: $N = 15~\text{Н}$