Задание 26: Статика — ЕГЭ по физике

Два небольших массивных шара массами $m_1 = 0{,}2~\text{кг}$ и $m_2 = 0{,}3~\text{кг}$ закреплены на концах невесомого стержня $AB$ , лежащего горизонтально на опорах $C$ и $D$ . Длина стержня $AB$ $L = 1~\text{м}$ , а расстояние $AC = 0{,}2~\text{м}$ . Сила давления стержня на опору $D$ в 2 раза больше, чем на опору $C$ . Каково расстояние между опорами $CD$ ? Сделайте рисунок с указанием внешних сил, действующих на систему тел «стержень + шары». Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

Решение:

Обоснование.

Рассматриваем задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй; полагаем её инерциальной.
Стержень с шарами моделируем как твёрдое тело (форма и размеры неизменны, расстояние между любыми двумя точками тела постоянно).
Поступательного движения нет, поэтому алгебраическая сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю.
Стержень не вращается; следовательно, сумма моментов сил относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку $A$ , равна нулю.
По третьему закону Ньютона силы взаимодействия шаров и стержня направлены противоположно и равны по модулю; реакции опор обозначим $N_1$ и $N_2$ . По условию $N_2 = 2 N_1$ .

На твёрдое тело «стержень + шары» действуют веса $m_1 g$ и $m_2 g$ , а также реакции опор $N_1$ и $N_2$ . Составим условия равновесия в системе $Oxy$ , связанной с Землёй:

по оси $Oy$ : $N_1 + N_2 - m_1 g - m_2 g = 0,$

по моментам относительно точки $A$ : $N_1 x + N_2 (l + x) - m_2 g\, L = 0,$ где $l = CD$ , $x$ — плечо силы $N_1$ (то есть $x = AC$ ).

Учитывая заданное соотношение $N_2 = 2 N_1$ , перепишем систему: $\begin{cases} 3 N_1 = (m_1 + m_2) g,\\ (3x + 2l)N_1 = m_2 g\, L. \end{cases}$

Делим второе уравнение на первое и получаем: $x + \frac{2}{3} l = \frac{m_2}{m_1 + m_2}\, L, \quad\Rightarrow\quad l = \frac{3}{2}\!\left(\frac{m_2}{m_1 + m_2}L - x\right).$

Подставляя численные значения: $l = \frac{3}{2}\!\left(\frac{0{,}3}{0{,}2 + 0{,}3}\cdot 1{,}0 - 0{,}2\right) = 0{,}6~\text{м}.$