Тип 26 № 11633

Обоснование:

1. Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной (ИСО).
2. Для описания цилиндр будем применять модель твердого тела, это означает что форма и размеры тела неизменны, расстояние между двумя точками тела остается неизменным.
3. Любое движение твердого тела является суперпозицией поступательного и вращательного движений. Поэтому к телу применимо два условия равновесия твердого тела в ИСО: для поступательного движения и для вращательного движения
4. В качестве оси вращения выберем ось, проходящую перпендикулярно плоскости рисунка через точку касания цилиндра плоскости А.
5. Нить невесома, поэтому модуль силы натяжения нити в любой ее точке равны.
6. Между цилиндром и поверхностью наклонной плоскости действует сила трения.

Решение:
Изобразим силы, действующие на цилиндр: тяжесть $mg$, реакцию опоры $N$, силу трения $F_{\text{тр}}$ и натяжение нити $T$.

Запишем равновесие моментов относительно точки $A$: $$mg\sin\alpha\cdot R - T\cdot 2R = 0.$$ Отсюда $$T=\frac{mg\sin\alpha}{2}.$$

Применим второй закон Ньютона при нулевом ускорении: $$\vec N + \vec T + m\vec g + \vec F_{\text{тр}}=\vec 0.$$

Проекции на оси: $$\mathrm{Ox}: \quad T + F_{\text{тр}} - mg\sin\alpha = 0,\qquad \mathrm{Oy}: \quad N - mg\cos\alpha = 0.$$

В предельном случае трение максимально: $F_{\text{тр}}=\mu N$. Тогда $$T + \mu mg\cos\alpha - mg\sin\alpha = 0.$$

Подставляя $T=\dfrac{mg\sin\alpha}{2}$, получаем $$\frac{mg\sin\alpha}{2} + \mu mg\cos\alpha - mg\sin\alpha = 0 \;\Rightarrow\; 2\mu\cos\alpha = \sin\alpha.$$

Отсюда для предельного угла наклона плоскости: $$\alpha = \arctan(2\mu) = \arctan(2\cdot 0{,}5)=45^\circ.$$

Этот угол действительно максимальный: при дальнейшем увеличении $\alpha$ сила трения уменьшается, горизонтальная составляющая тяжести возрастает, натяжение нити тоже растёт, и равновесие нарушается.