Тип 26 № 12312

Обоснование:

1. Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной (ИСО).
2. Тела движутся поступательно, поэтому их движение можно описывать моделью материальной точки.
3. Так как наклонная плоскость гладкая, следовательно, действием силы трения на оба бруска можно пренебречь.
4. Нить невесома, поэтому силы натяжения по модулю одинаковы, то есть $T_1=T_2=T$.
5. Нить нерастяжима, поэтому ускорения тел равны по модулю, то есть $a_1=a_2=a$.
6. Поскольку пружина легкая, то $F_\text{у1}=F_\text{у2}=F_\text{у}$.
7. Так как система является инерциальной, то можем применять второй закон Ньютона.

Решение:
Перед решением задачи изобразим силы действующие на бруски:

Теперь запишем второй закон Ньютона в проекции на выбранные оси: $$Ox: \quad F_\text{у1}-mg\sin{\alpha}=ma_1\Rightarrow F_\text{у}-mg\sin{\alpha}=ma$$ $$Ox: \quad T-F_\text{у2}-mg\sin{\alpha}=ma_1\Rightarrow T-F_\text{у2}-mg\sin{\alpha}=ma$$ $$O'y': \quad Mg-T=Ma_2\Rightarrow Mg-T=Ma$$ Таким образом из этих уравнений получим систему, в результате решение которой получим: $$a=g\frac{M-2m\sin{\alpha}}{2m+M}$$ Подставляя в первое уравнение получим: $$F_\text{у}=\frac{Mmg(1+\sin{\alpha})}{2m+M}$$ И согласно закону Гука $F_\text{у}=k(L-l)$ для растянутой пружины и тогда: $$L=l+\frac{Mmg(1+\sin{\alpha})}{(2m+M)k}=0.15+\frac{2\cdot0.25\cdot10\cdot(1+0.5)}{20\cdot(2\cdot0.25+2)}=0.3\,\text{м}$$