Тип 22 № 12369

При взрыве снаряда его скорость изменяется скачком. До взрыва двигался только снаряд, после взрыва его осколки разлетаются отдельно. Причём направление скорости второго осколка неизвестно.

Начальные и конечные импульсы системы (снаряд и осколки) равны: $$\vec{p}_0 = m \cdot \vec{v}_0, \quad \vec{p} = m_1 \cdot \vec{v}_1 + m_2 \cdot \vec{v}_2$$

Силой тяжести осколков пренебрегаем, внешние силы отсутствуют (сила взрыва намного больше), поэтому импульс сохраняется: $$\vec{p}_0 = \vec{p}, \qquad m \cdot \vec{v}_0 = m_1 \cdot \vec{v}_1 + m_2 \cdot \vec{v}_2 \tag{1}$$

Пусть $m = m_1 + m_2$, а по условию $m_1 = m_2$ — массы осколков одинаковы.

Из (1) имеем: $$m_2 \vec{v}_2 = m \vec{v}_0 - m_1 \vec{v}_1$$ Построив наглядно треугольник импульсов, по теореме Пифагора: $$(m_2 v_2)^2 = (m v_0)^2 + (m_1 v_1)^2$$ Тогда $$v_2^2 = \frac{(m v_0)^2 + (m_1 v_1)^2}{m_2^2}$$ Для одинаковых масс $m_1 = m_2$ и $m = 2m_1$: $$v_2^2 = \frac{(2m_1 v_0)^2 + (m_1 v_1)^2}{m_1^2} = 4v_0^2 + v_1^2$$ $$v_1^2 = -4v_0^2 + v_2^2$$ $v_1 = 150$ м/с.

Ответ: $v_1 = 150$ м/с.