Тип 22 № 12391

Для решения задачи стоит разобраться с движением теда по каждой оси. По вертикальной оси Oy тело будет двигаться равноускоренно с ускорением $-g$, по горизонтальной оси Ox тело будет двигаться равномерно, так как проекция ускорения равна нулю.
Тогда движение тело по оси Oy описывается уравнением: $$h=v_{0y}t-\frac{gt^2}{2}$$ И в момент падения тела: $$h=v_{0y}t_\text{пол}-\frac{gt_\text{пол}^2}{2}=0\Rightarrow t_\text{пол}=\frac{2v_{0y}}{g}=\frac{2v_0\sin{\alpha}}{g}$$ Где $t_\text{пол}$ – время полёта тела.
Зависимость проекции скорости тела на ось Oy от времени имеет вид $v_y(t)=v_0y-gt$. И на максимальной высоте подъёма тела проекция скорости вдоль оси Oy равна нулю, т.е. $v_y(t_\text{под})=v_{0y}-gt_\text{под}=v_0\sin{\alpha}-gt_\text{под}=0$. Откуда время подъёма тела до максимальной точки $t_\text{под}$: $$t_\text{под}=\frac{v_0\sin{\alpha}}{g}$$ И в этом случае максимальная высота подъёма будет равна: $$h_{max}=h(t_\text{под})=v_0\sin{\alpha} \cdot\frac{v_0\sin{\alpha}}{g}-\frac{g}{2}\cdot\left(\frac{v_0\sin{\alpha}}{g}\right)^2=\frac{v_0^2\sin^2{\alpha}}{2g}$$ Для движения вдоль оси Ox справедливо уравнение: $$L=v_{0x}t$$ И в момент падения тела: $$L=v_{0x}t_\text{пол}=v_0\cos{\alpha}\cdot t_\text{пол}=\frac{2v_0^2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{g}\Rightarrow v_0^2=\frac{Lg}{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}$$ Подставим эту формулу в выражение для максимальной высоты полёта тела: $$h_{max}=\frac{v_0^2\sin^2{\alpha}}{2g}=\frac{\sin^2{\alpha}}{2g}\cdot \frac{Lg}{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}=\frac{L\tan{\alpha}}{4}=\frac{20\cdot\tan{45^\circ}}{4}=5\,\text{м}$$

Ответ: $h_{max}=5\,\text{м}$