Тип 26 № 12433

Обоснование:

1. Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной (ИСО).
2. Для описания стержня используем моделью твердого тела.
3. Стержень однородный, поэтому сила тяжести, действующая на него, приложена к его середине.
4. Любое движение твердого тела является суперпозицией поступательного и вращательного движений. Поэтому к телу применимо два условия равновесия твердого тела в ИСО: для поступательного движения и для вращательного движения
5. В качестве оси, относительно которой будем считать сумму моментов сил, действующих на цилиндр, выберем ось, проходящую перпендикулярно плоскости рисунка через шарнир.
6. Также для стержня выполняется третий закон Ньютона $F=N$.

Решение:
Для начала изобразим на рисунке все силы, действующие на стержень:

Так как стержень находится в покое, то значит отсутствует его вращательное движение, а следовательно справедливо следующие равенство для суммы моментов относительно выбранной выше оси, обозначим длину стержня через $L$, а длину погруженной часть через $L_\text{п}=\frac{h}{\cos{\alpha}}$:
$$F_A\sin{\alpha}\cdot\frac{L_\text{п}}{2}-mg\sin{\alpha}\cdot\frac{L}{2}=0$$ Сила Архимеда, действующая на стержень определяется формулой: $F_A=\rho gV_\text{пог.}=\rho gSL_\text{п}$. Масса стержня определятся формулой $m=\rho_0V=\rho_0SL$. Тогда подставляя эти равенства в правило моментов получим:
$$L=L_\text{п}\sqrt{\frac{\rho}{\rho_0}}=\frac{h}{\cos{\alpha}}\cdot\sqrt{\frac{\rho}{\rho_0}}$$ Так как стержень находится в покое, то значит отсутствует его поступательное движение, а следовательно геометрическая сумма приложенных сил равна нулю т.е.: $$F_A-mg-N=0\Rightarrow\rho gSL_\text{п}-\rho_0SLg=N\Rightarrow \frac{\rho gSh}{\cos{\alpha}}-\rho_0gS{\cos{\alpha}}\cdot\sqrt{\frac{\rho}{\rho_0}}=F$$ Откуда искомая площадь поперечного сечения стержня $S$ равна: $$S = \frac{F \cos \alpha}{g h (\rho - \sqrt{\rho \rho_0})} = \frac{0.25 \cdot 0.5}{10 \cdot 0.25 \cdot (10^{3} - \sqrt{250 \cdot 10^{3}})} = 10^{-4} \; \text{м}^2 = 1\;\text{см}^2$$