Тип 25 № 12516

Мощность: $P=I^{2}R$.

1) Ключ разомкнут. По закону Ома для полной цепи $$I_1=\frac{\mathcal{E}}{R_1+R_2+r} =\frac{\mathcal{E}}{2R+r},$$ где $R=R_1=R_2=R_3$. Мощность, выделяемая на $R_2$: $$P_1=I_1^{2}R=\frac{\mathcal{E}^{2}R}{(2R+r)^{2}}.$$

2) Ключ замкнут. Параллельная ветвь $R_2\parallel R_3$ эквивалентна $$R_{23}=\frac{R}{2}.$$ Ток в цепи: $$I_{II}=\frac{\mathcal{E}}{R_1+R_{23}+r} =\frac{\mathcal{E}}{\frac{3}{2}R+r}.$$ Поскольку $R_2=R_3$, ток делится поровну, и через $R_2$ течёт $$I_2=\frac{I_{II}}{2} =\frac{1}{2}\cdot\frac{\mathcal{E}}{\frac{3}{2}R+r} =\frac{\mathcal{E}}{3R+2r}.$$ Тогда мощность на $R_2$ после замыкания: $$P_{II}=I_2^{2}R=\frac{\mathcal{E}^{2}R}{(3R+2r)^{2}}.$$

Отношение мощностей. $$\frac{P_1}{P_{II}} =\left(\frac{3R+2r}{2R+r}\right)^{2}.$$ Подставляя $R=1\ \text{Ом},\ r=0{,}5\ \text{Ом}$: $$\frac{P_1}{P_{II}} =\left(\frac{3\cdot 1+2\cdot 0{,}5}{2\cdot 1+0{,}5}\right)^{2} =\left(\frac{4}{2{,}5}\right)^{2} =\frac{64}{25}\approx 2{,}56.$$