Электродинамика

В идеальном колебательном контуре сохраняется полная энергия: $$\frac{q^{2}}{2C}+\frac{L I^{2}}{2}=\frac{L I_{m}^{2}}{2}.$$ Период собственных колебаний задаётся формулой Томсона: $$T=2\pi\sqrt{LC}.$$ Отсюда, используя закон сохранения энергии, $$q^{2}=LC\left(I_{m}^{2}-I^{2}\right)\quad\Rightarrow\quad q=\frac{T}{2\pi}\sqrt{I_{m}^{2}-I^{2}}.$$ Подстановка чисел: $$q=\frac{6{,}3\cdot 10^{-6}}{2\cdot 3{,}14}\, \sqrt{(5\cdot 10^{-3})^{2}-(3\cdot 10^{-3})^{2}} \approx 4\cdot 10^{-9}\ \text{Кл}.$$

1. Уравнения движения электрона с учётом начальных условий: $$\begin{cases} x=v_0 t,\\[2mm] y=\dfrac{a t^2}{2}. \end{cases}$$

2. Соответственно, проекции скорости: $$v_x=v_0,\qquad v_y=a t.$$

3. К моменту вылета из конденсатора электрон проходит $x=L$, значит $$t=\frac{L}{v_0}.$$

По второму закону Ньютона ускорение поперёк пластин $$a_y=\frac{F}{m}=\frac{eE}{m}=\frac{e\,\Delta\varphi}{m d},$$ так как $F=eE$, а $E=\Delta\varphi/d$.

Отсюда угол отклонения $$\tan\alpha=\frac{v_y}{v_x}=\frac{e\,\Delta\varphi\,L}{m d\,v_0^2}.$$

Учитывая, что $$y(t)=\frac{a t^2}{2}=\frac{e\,\Delta\varphi}{2 m d}\left(\frac{L}{v_0}\right)^2\le \frac{d}{2},$$ иначе электрон ударится о нижнюю (отрицательную) обкладку.

Следовательно, $$\Delta\varphi\le \frac{m d^2\,v_0^2}{e L^2}, \qquad \text{и} \qquad \tan\alpha\le \frac{d}{L}.$$

Итак, $$\tan\alpha=\frac{e\,\Delta\varphi\,L}{m d\,v_0^2} \quad \text{при}\quad \Delta\varphi\le \frac{m d^2\,v_0^2}{e L^2}.$$

Проекции силы упругости нити $k\Delta l$ на оси дают: $$\begin{cases} k\Delta l\,\sin\alpha = qE,\\[1mm] k\Delta l\,\cos\alpha = mg. \end{cases}$$

Возведём равенства в квадрат и сложим: $$(k\Delta l)^2=(mg)^2+(qE)^2.$$ Отсюда выражение для напряжённости поля: $$E=\frac{\sqrt{(k\Delta l)^2-(mg)^2}}{q}.$$

В плоском конденсаторе $E=U/d$. Следовательно, $$U=d\cdot \frac{\sqrt{(k\Delta l)^2-(mg)^2}}{q}.$$

Подстановка чисел даёт $$U=5{,}0\cdot 10^{4}\ \text{В}.$$

При отсутствии нити шарик движется под действием суммарной вертикальной силы $m\vec g+q\vec E$, поэтому его эффективное ускорение равно $$g_{\text{эфф}}=g+\frac{|q|E}{m}.$$ Тогда формула для угловой частоты малого колебания математического маятника принимает вид $$\omega_0=\sqrt{\frac{g_{\text{эфф}}}{l}} =\sqrt{\frac{\,g+\dfrac{|q|E}{m}\,}{l}}.$$

Подставляя числовые данные, $$\omega_0=\sqrt{\frac{\,10+\dfrac{6\cdot10^{-8}\cdot2\cdot10^{6}}{3\cdot10^{-3}}\,}{0{,}5}} =\sqrt{\frac{10+40}{0{,}5}}=10\ \text{с}^{-1}.$$

В схеме $C_1$ с $C_3$ образуют левую ветвь, $C_2$ с $C_4$ — правую; ветви включены параллельно, а внутри каждой ветви конденсаторы соединены последовательно. Тогда эквивалентная ёмкость системы: $$C_0=\frac{C_{13}\,C_{24}}{C_{13}+C_{24}} =\frac{(C_1+C_3)\,(C_2+C_4)}{C_1+C_3+C_2+C_4} =\frac{(2C+4C)\,(C+2C)}{2C+4C+C+2C}=2C.$$

Заряд батареи и заряд в каждой последовательной паре одинаковы: $$q_0=q_{13}=q_{24}=C_0\mathcal{E}=2C\,\mathcal{E}.$$

Напряжение на паре $C_1$–$C_3$: $$U_{13}=\frac{q_0}{C_{13}}=\frac{2C\mathcal{E}}{6C}=\frac{\mathcal{E}}{3}.$$

Энергия конденсатора $C_1$: $$W_1=\frac{1}{2}C_1 U_{13}^{2} =\frac{1}{2}\,(2C)\left(\frac{\mathcal{E}}{3}\right)^2 =\frac{C\mathcal{E}^{2}}{9}.$$