Тип 25 № 12520

Если масса всей квадратной рамки равна $m$, то масса каждой стороны $m_1=m/4$. На стороны действуют: сила тяжести $m_1 g$ (вниз), сила Ампера на $AE$ — $F_{A4}$ (вверх), сила Ампера на $CD$ — $F_{A2}$ (вниз). На $AC$ и $ED$ сила Ампера отсутствует, так как $\alpha=0^\circ$ и $\sin 0=0$. При повороте вокруг $CD$ реакция опоры $N$ компенсирует только силы на стороне $CD$. Силы считаем приложенными к центрам соответствующих сторон (точки $A_1,A_2,A_3,A_4$).

Решаем в инерциальной системе, связанной с Землёй. Рамка жёсткая, форма неизменна. При минимальном токе начальный угловой разгон пренебрежимо мал, поэтому записываем условие равновесия моментов относительно оси $CD$: $$M_1+M_2+\dots=0.$$ Моменты, направленные вверх, берём положительными; вниз — отрицательными. Для сил, действующих на сторону $CD$, суммарный момент равен нулю: $$F_{A4}\cdot A_4A_2 - m_1 g\cdot A_4A_2 - m_1 g\cdot A_1C - m_1 g\cdot A_3D=0.$$ Здесь $F_{A4}=I\,B\,l\,\sin\alpha$, $l=l_{\min}$, $l=AE=a$, $\alpha=90^\circ\Rightarrow \sin\alpha=1$; плечи: $$A_4A_2=a,\qquad A_1C=A_3D=\frac{a}{2},\qquad m_1=\frac{m}{4}.$$ Тогда $$I_{\min}\cdot B\cdot a\cdot a -\frac{m}{4}g\cdot a -\frac{m}{4}g\cdot \frac{a}{2} -\frac{m}{4}g\cdot \frac{a}{2}=0,$$ $$I_{\min}\,B\,a^{2} =\frac{m g}{2}\quad\Rightarrow\quad I_{\min}=\frac{m g}{2 B a}.$$