Задание 24: Термодинамические процессы, вычисление работы, количества теплоты, КПД — ЕГЭ по физике

На рисунке в координатах p–V представлен циклический процесс, проводимый с идеальным одноатомным газом. Давление идеального одноатомного газа изохорно увеличивают в 4 раза, затем объём газа увеличивают в 2,5 раза так, что давление линейно зависит от объёма и возрастает в 2 раза. После этого газ возвращают в исходное состояние в процессе, в котором давление линейно зависит от объёма. Масса газа постоянна. Определите коэффициент полезного действия теплового двигателя, работающего по этому циклу.
Иллюстрация к заданию №13257

Решение:

Перед решением задачи разберемся какие процессы представлены на графике и какие из них происходят с выделением тепла, а какие с поглощением.
Так процесс 1-2 является изохорным нагревом, значит справедливо соотношение $\frac{p}{T}=const$ , и так как давление растёт, то следовательно температура газа тоже увеличивается. Так же так как процесс изохорный, то работа газа равна нулю, а так как температура растёт, то внутренняя энергия увеличивается, таким образом по первому закону термодинамики газ теплоту получает.
В процесс 2-3 давление и объём газа увеличиваются прямопропорционально, следовательно согласно соотношению $\frac{pV}{T}=const$ , температура газа тоже увеличивается. Так как температура газа увеличивается, то изменение внутренней энергии и работа газа положительны, значит по первому закону термодинамики процесс происходит с поглощением тепла.
В процесс 3-1 давление газа и объём уменьшаются, значит согласно соотношению $\frac{pV}{T}=const$ , температура газа тоже уменьшается. Так как температура газа уменьшается, то изменение внутренней энергии и работа газа отрицательные, значит по первому закону термодинамик процесс происходит с выделением тепла.
Таким образом видим что газ получает теплоты только в процессах 1-2 и 2-3. Таким образом приходим к выводу, что количество тепла, полученного от нагревателя равно сумме количества теплоты полученному в процессе 2-3 и в процессах 1-2 $Q_\text{н}=Q_{12}+Q_{23}$ .
Найдём работу газа в процессe 2-3, как площадь фигуры под графиком процесса (площадь трапеции):
$A_{23}=\frac{(p_2+p_3)(V_3-V_1)}{2}=\frac{(4p_1+8p_1)(2.5V_1-V_1)}{2}=9p_1V_1$ Изменение внутренней энергии в процессе 2-3 составит:
$\Delta U_{23}=U_3-U_2=\frac{3}{2}p_3V_3-\frac{3}{2}p_2V_2=\frac{3}{2}(8p_1\cdot 2.5V_1-4p_1V_1)=24p_1V_1$ Таким образом по первому закону количество теплоты равно:
$Q_{23}=9p_1V_1+24p_1V_1=33p_2V_2$ Для участка 1-2 по первому закону термодинамики:
$Q_{12}=\Delta U_{12}=\frac{3}{2}(p_2-p_1)V_1=\frac{3}{2}(4p_1-p_1)V_1=4.5p_1V_1$ Тогда количество теплоты полученное газом от нагревателя за цикл равно: $Q_\text{н}=Q_{12}+Q_{23}=4.5p_1V_1+33p_2V_2=37.5p_2V_2$ Работу газа за цикл можем вычислить, как площадь фигуры всей фигуры, образованной за цикл, тогда (площадь треугольника):
$A=\frac{(p_2-p_1)(V_3-V_1)}{2}=\frac{(4p_1-p_1)(2.5V_1-V_1)}{2}=2.25p_1V_1$ Теперь можем сосчитать искомый КПД теплового двигателя:
$\eta=\frac{A}{Q_\text{н}}=\frac{2.25p_1V_1}{37.5p_1V_1}=0.06$

Ответ: 0.06.