Молекулярная физика

1. При изобарном сжатии над гелием совершается работа, модуль которой $$A_1=|p\,\Delta V|,$$ где $p$ — давление гелия в данном процессе, $\Delta V$ — изменение объёма.

2. С учётом уравнения Менделеева–Клапейрона для этого процесса можно записать: $$|p\,\Delta V|=\nu R\,(T_1-T_2).$$

3. В адиабатном процессе (теплообмена нет) по первому началу термодинамики сумма изменения внутренней энергии и работы газа равна нулю: $$\frac{3}{2}\,\nu R\,(T_3-T_2)+A_2=0.$$ Здесь использовано выражение для изменения внутренней энергии идеального одноатомного газа: $$\Delta U=\frac{3}{2}\,\nu R\,(T_3-T_2).$$

Преобразуя полученные соотношения с учётом температур из условия, имеем $$A_1=3\,\nu R T_2,\qquad A_2=\frac{3}{4}\,\nu R T_2.$$

Следовательно, $$A_2=\frac{A_1}{4}=\frac{2400}{4}=600~\text{Дж}.$$

Ответ: $A_2=600~\text{Дж}.$

1. Давление $p_1$ на глубине $H$ равно сумме атмосферного и гидростатического давлений: $$p_1=p_0+\rho g H,$$ где $\rho$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения, $p_0$ — атмосферное давление.

2. Для глубины $h$ аналогично: $$p_2=p_0+\rho g h.$$

3. Воздух в пузырьке считаем идеальным; при медленном подъёме температура постоянна, поэтому выполняется закон Бойля–Мариотта: $$p_1 V_1=p_2 V_2.$$

Подставляя выражения для $p_1$ и $p_2$, получаем формулу для объёма пузырька на глубине $h$: $$V_2=V_1\,\frac{p_0+\rho g H}{p_0+\rho g h}.$$

Подставляя численные значения из условия и табличные $g$ и $p_0$: $$V_2=\frac{10^{5}+10^{3}\cdot 10\cdot 20}{10^{5}+10^{3}\cdot 10\cdot 1}\cdot 10^{-9}\ \text{м}^3\ \approx 2{,}7~\text{мм}^3.$$ Ответ: $V_2 \approx 2{,}7~\text{мм}^3.$

1. Когда трубка расположена горизонтально, давление воздуха слева от ртутного столбика уравновешивается атмосферным: $$p_1=p_{\text{атм}}.$$ Объём воздуха равен $V_1=l_1 S$, где $S$ — площадь поперечного сечения трубки.

2. Если трубку поставить вертикально отверстием вниз, то давление в закрытой части уменьшится на гидростатическую добавку столбика ртути: $$p_2=p_{\text{атм}}-\rho g l,$$ а объём, занимаемый воздухом, возрастёт до $V_2=l_2 S$.

3. При постоянной температуре для воздуха справедлив закон Бойля–Мариотта: $$p_1 V_1=p_2 V_2.$$ Следовательно, $$p_{\text{атм}}\,l_1 S=\bigl(p_{\text{атм}}-\rho g l\bigr)\,l_2 S.$$ Отсюда, учитывая, что $p_{\text{атм}}=\rho g l_0$ и $l_0=747~\text{мм}$, $$l=\frac{p_{\text{атм}}(l_2-l_1)}{\rho g\,l_2} =\frac{0{,}747\,(0{,}432-0{,}307)}{0{,}432}\ \text{м} \approx 0{,}216~\text{м}=21{,}6~\text{см}.$$

Ответ: $l=21{,}6~\text{см}.$

Условие начала подъёма: сила Архимеда не меньше суммарного веса оболочки и воздуха внутри, $$F_{\text{арх}}\ge Mg+mg,$$ или, в плотностях, $$\rho_0 g V \ge Mg+\rho g V \ \Rightarrow\ \rho_0 V \ge M+\rho V,$$ где $\rho_0$ — плотность наружного воздуха, $\rho$ — плотность воздуха внутри оболочки, $V$ — объём шара.

Для воздуха внутри шара, при равенстве давлений снаружи и внутри, $$\frac{pV}{T}=\frac{m}{\mu}R \quad\Rightarrow\quad \frac{m}{V}=\rho=\frac{p\,\mu}{R\,T},$$ где $p$ — атмосферное давление, $T$ — температура внутри шара, $\mu$ — молярная масса воздуха, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Соответственно, плотность окружающего воздуха: $$\rho_0=\frac{\mu p}{R T_0},$$ где $T_0$ — температура внешнего воздуха.

Подставляя в условие подъёма, $$\frac{p\,\mu\,V}{R\,T_0}\ge M+\frac{p\,\mu\,V}{R\,T} \ \Rightarrow\ \frac{p\,\mu\,V}{R}\left(\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T}\right)\ge M \ \Rightarrow\ \frac{1}{T_0}=\frac{1}{T}+\frac{M R}{p\,\mu\,V}.$$

Отсюда максимальная температура внешнего воздуха, $$T_{0,\max}=\frac{\mu p\,V\,T}{\mu p\,V+M R\,T}.$$

Подстановка чисел (в СИ): $\mu=29\cdot 10^{-3}\ \text{кг/моль}$, $p=10^{5}\ \text{Па}$, $V=230\ \text{м}^3$, $T=265+273=538\ \text{К}$, $M=145\ \text{кг}$, $R=8{,}31\ \text{Дж/(моль К)}$: $$T_{0,\max}=\frac{29\cdot 10^{-3}\cdot 10^{5}\cdot 230\cdot 538} {29\cdot 10^{-3}\cdot 10^{5}\cdot 230+145\cdot 8{,}31\cdot 538} \approx 273\ \text{К}.$$

Следовательно, $$T_{0,\max}\approx 273~\text{К}\ \ (\approx 0~^\circ\text{C}).$$ Ответ: $T_{0,\max}\approx 273~\text{К}\ \ (\approx 0~^\circ\text{C}).$

1. Количество теплоты $Q_{12}$, полученное газом в изобарном процессе $1\!\to\!2$, по первому началу: $$Q_{12}=A_{12}+(U_2-U_1)=p_1(V_2-V_1)+\frac{3}{2}\nu R (T_2-T_1) =p_1(V_2-V_1)+\frac{3}{2}p_1(V_2-V_1)=\frac{5}{2}A_{12}.$$ (Здесь использованы формулы для внутренней энергии одноатомного идеального газа $U=\tfrac{3}{2}\nu RT$ и уравнение $pV=\nu RT$.)

2. Для адиабатного процесса $Q_{13}=0$. Поэтому модуль изменения внутренней энергии на участке $1\!\to\!3$: $$|U_3-U_1|=A_{13}.$$

3. Тогда искомое отношение $$x=\frac{Q_{12}}{|U_3-U_1|}=\frac{\frac{5}{2}A_{12}}{A_{13}}=\frac{5}{2}k,$$ где $k=\dfrac{A_{12}}{A_{13}}=2$. Следовательно $x=\dfrac{5}{2}\cdot 2=5$.

Ответ: 5.