Тип 24 № 13476

Работа, совершаемая над газом при изобарном сжатии, определяется выражением $$A_1 = p|\Delta V|.$$ Используя уравнение Менделеева — Клапейрона для начального и конечного состояний $p_1 V_1 = \nu R T_1$ и $p_2 V_2 = \nu R T_2$, при постоянном давлении $p_1 = p_2 = p$ получаем: $$A_1 = p(V_1 - V_2) = \nu R (T_1 - T_2) = \nu R\!\left(T_1 - \frac{T_1}{k}\right) = \nu R T_1\!\left(1 - \frac{1}{k}\right).$$

Далее газ адиабатически расширяется от температуры $T_2$ до $T_3 = \dfrac{T_2}{2}$. В адиабатическом процессе работа связана с изменением внутренней энергии соотношением $$A_2 = -\Delta U.$$ Для одноатомного идеального газа внутренняя энергия равна $U = \dfrac{3}{2}\nu R T$, поэтому $$A_2 = -\Delta U = -\frac{3}{2}\nu R (T_3 - T_2) = \frac{3}{2}\nu R (T_2 - T_3).$$ С учётом условия $T_3 = \dfrac{T_2}{2}$ имеем $$A_2 = \frac{3}{2}\nu R\!\left(T_2 - \frac{T_2}{2}\right) = \frac{3}{4}\nu R T_2.$$ Подставляя $T_2 = \dfrac{T_1}{k}$, получаем $$A_2 = \frac{3}{4k}\,\nu R T_1.$$

По условию отношение модулей работ равно 4: $$\frac{A_1}{A_2} = 4.$$ Подставляя выражения для $A_1$ и $A_2$, находим: $$\frac{\nu R T_1\left(1 - \dfrac{1}{k}\right)}{\dfrac{3}{4k}\,\nu R T_1} = 4.$$ Сокращая общие множители, получаем $$\frac{1 - \dfrac{1}{k}}{\dfrac{3}{4k}} = 4.$$ Перейдём к алгебраическому уравнению по $k$: $$\left(1 - \frac{1}{k}\right)\frac{4k}{3} = 4,$$ $$\frac{4}{3}(k - 1) = 4.$$ Отсюда $$k - 1 = 3 \quad \Rightarrow \quad k = 4.$$

Ответ: $ k = 4.$