Тип 25 № 13712

Для начала разберёмся в том, какие силы действуют на шарик, а именно будет действовать сила тяжести, направленная вниз $F_\text{тяж.}=mg$, сила натяжения нити $Т$ и сила Лоренца $F_\text{Л}=Bqv\sin{\alpha}$ и так как положительно заряженное тело движется в магнитном поле по окружности, то в нашем случае $\sin{\alpha}=1$. И так как телу сообщают минимальную скорость, то в верхней точке сила натяжения нити равна 0. Изобразим на рисунке эти силы в верхней точке:

Тогда второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вниз будет иметь вид:
$$mg-F_\text{Л}=ma\Rightarrow mg-Bqv_2=m\frac{v_2^2}{l} \tag{1}$$ Где $v_2$ – скорость шара в верхней точке.
С другой стороны можем рассмотреть движение заряженного шарика в магнитном и гравитационном поле. За нулевой уровень высоты примем нижнюю точку расположения шарика. Тогда в нижней точке траектории шарик будет иметь только кинетическую энергию $E_\text{к.1}=\frac{mv_1^2}{2}$, а в верхней кинетическую энергию $E_\text{к.2}=\frac{mv_2^2}{2}$ и потенциальную энергию $E_\text{п.}=2mgl$. И так как сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости, то работу она не совершает, следовательно можем применить закон сохранения энергии:
$$\frac{mv_1^2}{2}=\frac{mv_2^2}{2}+2mgl \tag{2}$$ Объединяя формулы (1) и (2), находим искомую индукцию магнитного поля: $$B=\frac{m(5gl-v_1^2)}{ql\sqrt{v_1^2-4gl}}$$