Тип 25 № 13728

Для решения задачи рассмотрим нагрузку, а именно запишем закон Ома для полной цепи и закон Ома для для участка цепи с реостатом:
$$I=\frac{\xi}{R+r} \quad\quad I=\frac{U}{R}$$ $$\Downarrow$$ $$U=\xi-Ir$$ Где $I$ – сила тока в цепи,$U$ – напряжение в цепи, $r$ – сопротивлени источника ЭДС, $\xi$ – ЭДС.
Тогда мощность, выделяемая в цепи, будет равна:
$$P=IU=I(\xi-Ir)$$ Видим, что мощность имеет квадратичную зависимость от силы тока в цепи, следовательно функция $P(I)$ имеет вид параболы, ветви которой будут направлены вниз, соответственно максимальное значение мощности $P_{max}$ будет находится в вершине этой параболы, то есть в точке экстремума функции.

Вычислим значение этого экстемума функции:
$$P'(I)=\xi-2Ir \,\,\text{и если \(P'(I)=0\), то}\,\,I=\frac{\xi}{2r}$$ И тогда: $$P_{max}=P\left(\frac{\xi}{2r}\right)=\frac{\xi^2}{4r}\Rightarrow \xi=\sqrt{4rP_{max}}$$ Далее при подстановке значения силы тока при максимальной мощности в закон Ома для полной цепи получим: $$I=\frac{\xi}{2r}=\frac{\xi}{R+r}\Rightarrow R=r$$ Тогда вычислим икомую ЭДС источника:
$$\xi=\sqrt{4rP_{max}}=\sqrt{4RP_{max}}=\sqrt{4\cdot4.5\cdot2}=6\,\text{В}$$