Тип 25 № 13735

Для решения задачи рассмотрим каждый случай отдельно:
Так изначально конденсатор имел ёмкость и энергию равно:
$$С_0=\frac{\varepsilon_0S}{d} \quad\quad\quad W_0=\frac{C_0U^2}{2}$$ Где $S$ – площадь одной пластины конденсатора, $d$ – расстояние между пластинами, $U$ – напряжение между обкладками. Так же пусть $V_0$ – начальная площадь между двумя обкладками конденсатора.
Теперь перейдём к рассмотрению второго случая с погружённым конденсатором. Так как по условия сказано что диэлектрик заполняет 1/3 объёма конденсатора, то мы можем разбить наш начальный конденсатор на два более малых, первый с диэлектриком между пластинами и второй без него. Соответственно для каждой из этих частей заполненная часть конденсатора равна:
$$V_1=\frac{1}{3}V_0 \Rightarrow S_1d=\frac{1}{3}Sd\Rightarrow S_1=\frac{1}{3}S$$ $$V_2=\frac{2}{3}V_0 \Rightarrow S_2d=\frac{2}{3}Sd\Rightarrow S_2=\frac{2}{3}S$$ Где $S_1$ и $S_2$ – площади обкладок для каждого маленького конденсатора.
Таким образом емкости этих конденсаторов равны:
$$C_1=\frac{\varepsilon\varepsilon_0S_1}{d}=\frac{\varepsilon\varepsilon_0S}{3d}=\frac{\varepsilon C_0}{3}$$ $$C_2=\frac{\varepsilon_0S_2}{d}=\frac{2\varepsilon_0S}{3d}=\frac{2C_0}{3}$$ При этом получившиеся конденсаторы будут соединены параллельно, поэтому общая емкость получившихся конденсаторов, а соответственно и большого конденсатора равна:
$$C=C_1+C_2=\frac{\varepsilon C_0}{3}+\frac{2C_0}{3}=\frac{(\varepsilon+2)C_0}{3}$$ Так как конденсатор не отключали от источника тока, то напряжение между обкладками не изменилось, тогда энергия этого конденсатора будет равна:
$$W=\frac{CU^2}{2}=\frac{(\varepsilon+2)C_0U^2}{6}$$ Тогда отношение энергий между первым и вторым случаем будет равно:
$$\frac{W}{W_0}=\frac{2+\varepsilon}{3}=\frac{2+4}{3}=2$$ Т.е. энергия конденсатора увеличится в 2 раза.