Тип 22 № 13784

Скорости осколков ядра после деления зависят от закона сохранения импульса, так как до деления ядро покоилось, и суммарный импульс оставался нулевым: $$\vec{p}_0 = 0, \qquad \vec{p} = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 + m_3\vec{v}_3$$ Поскольку внешние силы отсутствуют (гравитацией можно пренебречь), записываем: $$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 + m_3\vec{v}_3 = 0 \tag{1}$$

Направим ось OX вдоль скорости первого осколка, а ось OZ – вдоль второго (так как угол между $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ составляет 90$^\circ$).

Поскольку скорости не лежат на одной прямой, для определения скорости третьего осколка нужно использовать двухмерную систему координат: $$v_3 = \sqrt{v_{3x}^2 + v_{3z}^2} \tag{2}$$

Распишем (1) по координатам: по OX: $$0 = m_1 v_1 + m_3 v_{3x} \implies v_{3x} = -\frac{m_1 v_1}{m_3}$$

по OZ: $$0 = m_2 v_2 + m_3 v_{3z} \implies v_{3z} = -\frac{m_2 v_2}{m_3}$$

Подставляем значения из условия: $m_1 = 1.5\,\text{кг}$, $m_2 = 1.5\,\text{кг}$, $m_3 = 5\,\text{кг}$, $v_1 = 2v$, $v_2 = 4v$: $$v_{3x} = -\frac{1.5 \cdot 2v}{5} = -\frac{3v}{5}$$ $$v_{3z} = -\frac{1.5\cdot 4v}{5} = -\frac{6v}{5}$$

Используем формулу (2):

$$v_3 = \sqrt{\left(-\frac{3v}{5}\right)^2 + \left(-\frac{6v}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{9v^2}{25} + \frac{36v^2}{25}} = \sqrt{\frac{45v^2}{25}} = 1.34v$$

Соотношение: $$\frac{v_1}{v_3} = \frac{2v}{1.34v} = 1,5$$ Ответ: 1,5