Тип 26 № 19955

Обоснование. Систему отсчета, связанную с неподвижной наклонной плоскостью, будем считать инерциальной. Движение бруска поступательное. Следовательно, его можно считать материальной точкой. Можно применить законы прямолинейного равномерного движения.

При движении бруска по наклонной поверхности на него действуют силы тяжести, трения и реакции опоры. В инерциальной системе отсчета применим второй закон Ньютона для описания движения бруска.

Перейдем к решению.

1. При движении вдоль наклонной плоскости на брусок массой $m$ действуют сила тяжести $mg$ (по вертикали вниз), сила нормального давления плоскости на брусок (перпендикулярная плоскости) и сила трения скольжения вдоль плоскости, равная согласно закону Амонтонa—Кулона $\mu N$.

2. Запишем векторные законы Ньютона в проекциях на направления перпендикулярно плоскости и вдоль нее вниз, получаем в первом случае, когда брусок скользит вверх: $$ma = N = mg\cos\alpha,$$ $$mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha,$$ где ускорение $a$ направлено против начальной скорости и по модулю равно $a=g(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)$.

3. Во втором случае сила трения меняет направление (брусок скользит вниз), и получаем: $$a=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)=g\cos\alpha(\tg\alpha-\mu)<0,$$ поскольку по условию $\tg\alpha=0{,}15<\mu=0{,}35$. Значит, ускорение по-прежнему направлено противоположно скорости, и брусок тормозится, но медленнее.

4. Согласно известной формуле из кинематики, путь тела до полной остановки при равнозамедленном движении равен $$s=\frac{v^2}{2a}.$$

5. Подставляя в это соотношение полученные выше выражения для ускорений с учетом их знаков, находим искомое отношение: $$\frac{s_2}{s_1}=\left|\frac{a_1}{a_2}\right| =\frac{\tg\alpha+\mu}{|\tg\alpha-\mu|} =\frac{0{,}15+0{,}35}{|0{,}15-0{,}35|} =2{,}5.$$

Ответ: во втором случае путь бруска до остановки будет в 2,5 раза больше, чем в первом.