Тип 26 № 20137

Обоснование

1. Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй.

2. Снаряд и осколки считаем материальными точками, так как их размерами по сравнению с расстояниями движения можно пренебречь.

3. В момент взрыва применим закон сохранения импульса, так как время взрыва мало, а изменение импульса системы под действием силы тяжести за это время пренебрежимо мало.

4. После взрыва осколки движутся под действием только силы тяжести, так как сопротивлением воздуха по условию пренебрегают.

Решение.

В верхней точке траектории скорость снаряда направлена горизонтально и равна $$v=v_0\cos\alpha.$$

Масса снаряда до взрыва: $$M=m_1+m_2.$$

Выберем ось $Ox$ горизонтально в сторону первоначального полёта снаряда, а ось $Oy$ — вертикально вверх. По оси $Ox$ для момента взрыва: $$Mv=m_1v_1-m_2v_2,$$ где $v_2$ — модуль скорости второго осколка сразу после взрыва. Знак “минус” показывает, что второй осколок полетел в сторону, противоположную первоначальному движению снаряда. Тогда $$v_2=\frac{m_1v_1-(m_1+m_2)v_0\cos\alpha}{m_2}.$$

Подставим данные: $$v_2=\frac{1{,}5\cdot 200-(1{,}5+1)\cdot 200\cdot \cos 60^\circ}{1} =50\ \text{м/с}.$$

По оси $Oy$ до взрыва импульс снаряда равен нулю, так как в верхней точке траектории его вертикальная скорость равна нулю. Верно также, что после взрыва летит горизонтально, значит его вертикальная скорость тоже равна нулю. Следовательно, вертикальная скорость второго осколка сразу после взрыва также равна нулю.

Высота верхней точки траектории: $$h=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}.$$

Так как второй осколок начинает падать с высоты $h$ без начальной вертикальной скорости, время его падения определяется из уравнения $$h=\frac{gt^2}{2},$$ откуда $$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\frac{v_0\sin\alpha}{g}.$$

Подставим значения: $$t=\frac{200\cdot \sin 60^\circ}{10} =10\sqrt{3}\ \text{с}.$$

Тогда расстояние от точки на земле под местом взрыва до места падения второго осколка: $$s_2=v_2t=50\cdot 10\sqrt{3}=500\sqrt{3}\approx 866\ \text{м}.$$

Ответ: 866 м.