Задание 6 ЕГЭ информатика

1. Введение

В задании №6 исполнитель Черепаха перемещается по координатной плоскости и рисует одну или несколько фигур. Нужно посчитать точки с целочисленными координатами, которые находятся внутри нужной области. В условии отдельно указывается, включать ли точки на границе.

Встречаются три основных типа задания:

Черепаха строит одну фигуру — считаем точки внутри неё;
Черепаха строит две фигуры — считаем точки в их пересечении;
Черепаха строит две фигуры — считаем точки в их объединении.

Основной способ решения: перенести алгоритм в Python, построить фигуры в увеличенном масштабе и отметить целочисленные точки.

2. Теория

Как работает Черепаха

Черепаха движется по координатной плоскости. Когда хвост опущен, она оставляет линию. Когда хвост поднят, она просто переходит в другую точку. Команда «Повтори k [...]» означает, что все команды в скобках выполняются k раз.

В задачах ЕГЭ Черепаха обычно начинает в точке (0, 0) и смотрит вверх. Python-черепаха сначала смотрит вправо, поэтому перед выполнением алгоритма пишем left(90).

Масштаб k нужен только для удобного рисунка. Например, forward(12 * k) изображает команду «Вперёд 12». Число k при подсчёте точек не учитывается.

Команда	Что делает Черепаха	Запись на Python
Вперёд `d`	Проходит `d` единиц вперёд	`forward(d * k)` или `fd(d * k)`
Назад `d`	Проходит `d` единиц назад	`backward(d * k)` или `bk(d * k)`
Направо `a`	Поворачивается направо на `a` градусов	`right(a)` или `rt(a)`
Налево `a`	Поворачивается налево на `a` градусов	`left(a)` или `lt(a)`
Поднять хвост	Перестаёт рисовать линию	`up()` или `pu()`
Опустить хвост	Снова начинает рисовать линию	`down()` или `pd()`
Повтори `m` [...]	Повторяет команды в скобках `m` раз	`for _ in range(m):`

Объединение и пересечение

Объединение — вся область, занятая первой фигурой, второй фигурой и их общей частью. На схеме вся нужная область закрашена зелёным.

Пересечение — только общая часть двух фигур. Всё, что находится лишь в одной фигуре, в пересечение не входит.

Как быстро считать точки

Команда «Вперёд n» означает, что Черепаха проходит n единиц.

На горизонтальном или вертикальном отрезке длины n находится n + 1 целочисленных точек вместе с концами. Если концы считать не нужно, остаётся n - 1 точек.

Если получился большой прямоугольник со сторонами a и b, необязательно наносить каждую точку:

внутри вместе с границей: (a + 1) · (b + 1);
только внутри, без границы: (a - 1) · (b - 1).

Для пересечения прямоугольников берём размеры только общей части. Для объединения складываем количество точек двух фигур и один раз вычитаем точки их пересечения.

3. Решение на Python

Основной шаблон

Рисунок легко построить с помощью библиотеки turtle в Python. Покажем решение по шагам:

Подключить библиотеку turtle.
Отключить анимацию, задать масштаб k и направить Черепаху вверх.
Перенести команды первого алгоритма в Python и построить первую фигуру.
Поднять хвост, перейти к началу второй фигуры, опустить хвост и выполнить второй алгоритм.
Снова поднять хвост, перебрать целочисленные координаты x и y и поставить в каждой точке отметку командой dot(3, 'red').

from turtle import *

tracer(0)

k = 20

left(90)

for i in range(3):
    forward(27 * k)
    right(90)
    forward(12 * k)
    right(90)

up()
forward(6 * k)
left(90)
down()

for i in range(4):
    forward(83 * k)
    right(90)
    forward(77 * k)
    right(90)

up()

for x in range(-50, 50):
    for y in range(-50, 50):
        goto(x * k, y * k)
        dot(3, 'red')

exitonclick()

Разбор шаблона

tracer(0) отключает пошаговую анимацию. Черепаха не показывает каждое отдельное движение, поэтому фигуры и точки строятся намного быстрее.
left(90) нужна, чтобы выполнить условие «голова направлена вдоль положительного направления оси ординат». В Python Черепаха изначально смотрит вправо — вдоль положительного направления оси абсцисс.
k = 20 — переменная масштаба. В командах forward и backward расстояние умножается на k, чтобы рисунок и расстояние между целочисленными точками были хорошо видны. На сам ответ масштаб не влияет. Углы в left и right на k не умножаются.
forward(d) двигает Черепаху вперёд, backward(d) — назад. left(a) поворачивает налево, right(a) — направо. up() поднимает хвост, поэтому движение не рисует линию; down() опускает хвост и возвращает рисование.
У команд есть короткие записи: fd — forward, bk — backward, lt — left, rt — right, pu — up, pd — down. Например, fd(10 * k) и forward(10 * k) выполняют одно и то же действие.
Два цикла в конце перебирают целые значения x и y. Команда goto(x * k, y * k) переносит Черепаху в очередную точку, а dot(3, 'red') ставит там красную точку диаметром 3 пикселя. Так на рисунке появляется сетка точек с целочисленными координатами.
Границы range подбирают под размер фигуры. Например, range(-50, 50) перебирает координаты от -50 до 49: правое число 50 в диапазон не входит.

4. Практика

Задача 1. Точки внутри одной фигуры

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен.

При опущенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии. В каждый конкретный момент известно положение исполнителя и направление его движения.

У исполнителя существует 6 команд:

Поднять хвост — переход к перемещению без рисования;
Опустить хвост — переход в режим рисования;
Вперёд n — передвижение Черепахи на n единиц в направлении её головы;
Назад n — передвижение в противоположном направлении;
Направо m — поворот на m градусов по часовой стрелке;
Налево m — поворот на m градусов против часовой стрелки.

Запись Повтори k [Команда1 Команда2 ... КомандаS] означает, что последовательность из S команд повторится k раз.

Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:

Направо 90

Повтори 3 [Направо 45 Вперёд 10 Направо 45]

Направо 315 Вперёд 10

Повтори 2 [Направо 90 Вперёд 10]

Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, которая ограничена линией, заданной алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.

Что считать

Построена одна замкнутая фигура. Нужно считать только точки строго внутри неё: точки на границе в ответ не входят.

Код по шаблону

from turtle import *

k = 15
tracer(0)
left(90)

right(90)

for i in range(3):
    right(45)
    forward(10 * k)
    right(45)

right(315)
forward(10 * k)

for i in range(2):
    right(90)
    forward(10 * k)

up()

for x in range(-50, 50):
    for y in range(-50, 50):
        goto(x * k, y * k)
        dot(3, 'red')

exitonclick()

Быстрый подсчёт

Если посмотреть на фигуру под углом, точки удобно считать по наклонным прямым. На одной такой прямой находится 7 внутренних точек. Всего таких прямых 29.

7 · 29 = 203

Ответ: 203

Задача 2. Периметр пересечения

Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:

Повтори 9 [Вперёд 22 Направо 90 Вперёд 6 Направо 90]

Поднять хвост

Вперёд 1 Направо 90 Вперёд 5 Налево 90

Опустить хвост

Повтори 9 [Вперёд 53 Направо 90 Вперёд 75 Направо 90]

Определите периметр области пересечения фигур, ограниченных заданными алгоритмом линиями.

Что считать

Нужна общая часть двух прямоугольников — пересечение. В условии спрашивают периметр, поэтому целочисленные точки считать не нужно: по сетке определяем длину и ширину общей части.

Код по шаблону

from turtle import *

k = 15
tracer(0)
left(90)

for i in range(9):
    forward(22 * k)
    right(90)
    forward(6 * k)
    right(90)

up()
forward(1 * k)
right(90)
forward(5 * k)
left(90)
down()

for i in range(9):
    forward(53 * k)
    right(90)
    forward(75 * k)
    right(90)

up()

for x in range(-80, 20):
    for y in range(-40, 30):
        goto(x * k, y * k)
        dot(3, 'red')

exitonclick()

Быстрый подсчёт

Первая фигура — прямоугольник 6 × 22.

Второй прямоугольник перекрывает его по ширине от x = 0 до x = 1, то есть на 1 единицу, и по высоте от y = 0 до y = 21, то есть на 21 единицу.

Пересечение имеет размеры 1 × 21.

2 · (1 + 21) = 44

Ответ: 44

Задача 3. Точки в объединении

Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:

Повтори 2 [Вперёд 3 Направо 90 Вперёд 20 Направо 90]

Поднять хвост

Назад 8 Направо 90 Вперёд 9 Налево 90

Опустить хвост

Повтори 2 [Вперёд 16 Направо 90 Вперёд 8 Направо 90]

Определите, сколько точек с целочисленными координатами находятся внутри объединения фигур, ограниченного заданными алгоритмом линиями, включая точки на линиях.

Что считать

Нужно объединение: все точки первой фигуры, все точки второй фигуры и точки их общей части.

Граница включается. Точки пересечения нельзя считать дважды.

Код по шаблону

from turtle import *

k = 15
tracer(0)
left(90)

for i in range(2):
    forward(3 * k)
    right(90)
    forward(20 * k)
    right(90)

up()
backward(8 * k)
right(90)
forward(9 * k)
left(90)
down()

for i in range(2):
    forward(16 * k)
    right(90)
    forward(8 * k)
    right(90)

up()

for x in range(-20, 30):
    for y in range(-20, 20):
        goto(x * k, y * k)
        dot(3, 'red')

exitonclick()

Быстрый подсчёт

Первая фигура — прямоугольник 20 × 3, в нём:

(20 + 1) · (3 + 1) = 84 точки.

Вторая фигура — прямоугольник 8 × 16, в нём:

(8 + 1) · (16 + 1) = 153 точки.

Пересечение имеет размеры 8 × 3, поэтому содержит:

(8 + 1) · (3 + 1) = 36 точек.

Вычитаем общие точки один раз:

(20 + 1) · (3 + 1) + (8 + 1) · (16 + 1) - (8 + 1) · (3 + 1) = 201

Ответ: 201

Задача 4. Периметр пересечения больших прямоугольников

Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:

Повтори 10 [Вперёд 22 Направо 90 Вперёд 16 Направо 90]

Поднять хвост

Вперёд 1 Направо 90 Вперёд 1 Налево 90

Опустить хвост

Повтори 10 [Вперёд 72 Направо 90 Вперёд 79 Направо 90]

Определите периметр области пересечения фигур, ограниченных заданными алгоритмом линиями.

Что считать

Нужно пересечение, то есть внутренняя общая часть прямоугольников. Так как требуется периметр, считаем длины сторон этой общей части, а не количество точек сетки.

Код по шаблону

from turtle import *

k = 15
tracer(0)
left(90)

for i in range(10):
    forward(22 * k)
    right(90)
    forward(16 * k)
    right(90)

up()
forward(1 * k)
right(90)
forward(1 * k)
left(90)
down()

for i in range(10):
    forward(72 * k)
    right(90)
    forward(79 * k)
    right(90)

up()

for x in range(-10, 90):
    for y in range(-10, 80):
        goto(x * k, y * k)
        dot(3, 'red')

exitonclick()

Быстрый подсчёт

Первый прямоугольник занимает x от 0 до 16 и y от 0 до 22.

Второй — x от 1 до 80 и y от 1 до 73.

Общая часть занимает x от 1 до 16 и y от 1 до 22: её размеры 15 × 21.

2 · (15 + 21) = 72

Ответ: 72

1. Введение

2. Теория

Как работает Черепаха

Объединение и пересечение

Как быстро считать точки

3. Решение на Python

Основной шаблон

Разбор шаблона

4. Практика

Задача 1. Точки внутри одной фигуры

Что считать

Код по шаблону

Быстрый подсчёт

Задача 2. Периметр пересечения

Что считать

Код по шаблону

Быстрый подсчёт

Задача 3. Точки в объединении

Что считать

Код по шаблону

Быстрый подсчёт

Задача 4. Периметр пересечения больших прямоугольников

Что считать

Код по шаблону

Быстрый подсчёт

Читайте также

Задание 25 ЕГЭ информатика

Задание 22 ЕГЭ информатика

Задание 3 ЕГЭ информатика