Производная и первообразная

Производная в точке касания равна тангенсу угла наклона касательной, т.е её угловому коэффициенту. По условию прямая $y = 7x - 5$ параллельна касательной к графику функции $y = x^2 + 6x - 8$. Значит, их угловые коэффициенты равны между собой:

$$7 = (x^2 + 6x - 8)' = 2x + 6$$ $$2x = 1 \Leftrightarrow x = 0,5$$

Для того чтобы касание было возможным 2 данные функции должны удовлетворять следующим условиям:

$$\begin{cases} f_1'(x) = f_2'(x)\\ f_1(x) = f_2(x) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -4 = 3x^2 + 14x + 7\\ -4x - 11 = x^3 + 7x^2 + 7x - 6\\ \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{aligned} &x = -1\\ & x = -\tfrac{11}{3} \end{aligned}\right. \\ -4x - 11 = x^3 + 7x^2 + 7x - 6\\ \end{cases}$$

Данной системе удовлетворяет только значение $x = -1$.

Производная функции положительна на промежутках возрастания этой функции. Найдём все целочисленные значения $x$ принадлежащие промежуткам возрастания функции: $-2, -1, 5, 6$. Всего таких точек 4.

Производная функции отрицательна на промежутках убывания этой функции. Найдём все целочисленные значения $x$ которые принадлежат промежуткам убывания функции: $-4, -3, -2, -1, 0 ,1, 3, 4$.

Всего таких точек нашлось: $8$.

$y=18$ – это горизонтальная прямая, параллельная оси $X$. Чтобы касательная к графику функции $y = f(x)$ была параллельна этой прямой, она должна быть также горизонтальной, т.е её угловой коэффициент должен быть равен 0. Угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной в точке касания, то есть производная должна быть равна 0. Производная равна 0 в точках экстремума функции. Всего на графике 5 таких точек: $-5, -3, 0, 1, 2$.