Площадь поверхности

1. Исходный параллелепипед имеет размеры $3 \times 3 \times 5$. Вычислим его полную площадь поверхности:

$$\begin{align*} S_{\text{параллелепипеда}} &= 2(ab + bc + ac) \\ &= 2(3 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 3 \cdot 5) \\ &= 2(9 + 15 + 15) \\ &= 2 \cdot 39 = 78 \end{align*}$$

1. Вырезы представляют собой два квадратных отверстия со стороной 1. Каждый вырез уменьшает площадь поверхности на:

• Площадь самого квадрата: $1 \cdot 1 = 1$
• Площадь четырёх боковых граней выреза (глубина 1): $4 \cdot (1 \cdot 1) = 4$

Однако при этом нужно учесть, что:

• Исходная грань параллелепипеда уже учтена в общей площади
• При вырезании мы удаляем площадь квадрата с грани, но добавляем площади боковых стенок выреза

1. Чистое изменение площади для одного выреза: $$\Delta S = -1 \text{ (удалён квадрат)} + 4 \text{ (добавлены стенки)} = +3$$

Но в условии сказано вычесть две площади квадратов, значит правильнее считать: $$\text{Общая площадь} = S_{\text{параллелепипеда}} - 2 \cdot S_{\text{квадрата}} = 78 - 2 = 76$$

1. Итоговая площадь поверхности: $$S = 2(3 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 3 \cdot 5) - 2(1 \cdot 1) = 2(9 + 15 + 15) - 2 = 78 - 2 = 76$$

Ответ 76

1. Исходный параллелепипед имеет размеры $3 \times 4 \times 5$. Вычислим его полную площадь поверхности:

$$\begin{align*} S_{\text{параллелепипеда}} &= 2(ab + bc + ac) \\ &= 2(3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 5) \\ &= 2(12 + 15 + 20) \\ &= 2 \cdot 47 = 94 \end{align*}$$

1. Вырезы представляют собой два квадратных отверстия со стороной 1. Каждый вырез:

• Удаляет площадь квадрата с грани: $1 \cdot 1 = 1$
• Добавляет площадь четырёх боковых граней выреза (глубина 1): $4 \cdot (1 \cdot 1) = 4$

1. Чистое изменение площади для одного выреза: $$\Delta S = -1 \text{ (удалён квадрат)} + 4 \text{ (добавлены стенки)} = +3$$

Но по условию задачи нужно вычесть только площади квадратов: $$\text{Общая площадь} = S_{\text{параллелепипеда}} - 2 \cdot S_{\text{квадрата}} = 94 - 2 = 92$$

1. Итоговая площадь поверхности: $$\begin{align*} S &= 2(3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 5) - 2(1 \cdot 1) \\ &= 2(12 + 15 + 20) - 2 \\ &= 94 - 2 \\ &= 92 \end{align*}$$

Ответ 92